Carico distribuito: momento?

[tmox]

Buongiorno.

Vorrei considerare un asta di massa uniforme. Sull'asta agisca un carico distribuito costante \(\displaystyle q(x) \).
Mi chiedevo, nel calcolare il momento del carico rispetto un estremo, non sarebbe opportuno considerare che la (infinitesima) parte del carico distribuito agente in prossimità del polo NON dà momento (braccio nullo)? In genere si moltiplica il carico distribuito costante \(\displaystyle q(x) \) per la lunghezza \(\displaystyle L \) dell'asta, e la risultante del carico è poi applicata al baricentro dell'asta e moltiplicata per il braccio.

In tutto questo, dicevo, non dovremmo considerare che il carico distribuito presso il polo non esercita alcun momento e non va quindi considerato? Il risultato dovrebbe differire, per quanto in modo "infinitesimale".

[anonymous_0b37e9]

Se procedi calcolando l'integrale:

$M_O=\int_{0}^{L}qxdx=1/2qL^2$

ottieni il medesimo risultato.

[tmox]

"anonymous_0b37e9":Se procedi calcolando l'integrale:

$M_O=\int_{0}^{L}qxdx=1/2qL^2$

ottieni il medesimo risultato.

Yes, ma così abbiamo preso anche il contributo in zero, giusto? In zero avremmo braccio nullo. E' come se fosse una questione di limite, ma "concettualmente" direi che è ben diverso.

[anonymous_0b37e9]

Infatti, il braccio $x$ nella funzione integranda $qx$ vale $0$ quando $[x=0]$.

"tmox":
... come se fosse una questione di limite ...

Se intendi trattare la questione più rigorosamente dal punto di vista matematico, ti assicuro che non esiste alcuna contraddizione.

[tmox]

"anonymous_0b37e9":Infatti, il braccio $x$ nella funzione integranda $qx$ vale $0$ quando $[x=0]$.

[quote="tmox"]
... come se fosse una questione di limite ...

Se intendi trattare la questione più rigorosamente dal punto di vista matematico, ti assicuro che non esiste alcuna contraddizione.[/quote]

Il risultato dell'integrale, per quanto in x=0 valga zero, è comunque quello di considerare tutti i contributi del carico distribuito, come se la risultante fosse applicata al baricentro. D'altronde gli integrali lavorano sulla continuità e quindi è comprensibile che la conclusione sia questa.

In altre parole, sfruttare dei dx talmente piccoli che il risultato sia 9.9999999... oppure ottenere un risultato pari a 10 considerando infiniti contributi della distribuzione non comporta differenze importanti a livello ingegneristico.

Pertanto non mi sorprende che il risultato dell'integrale sia conforme, ma credo che si stia parlando più di matematica che non di fisica effettiva. Fintanto che non "estremizzo" il risultato mediante un integrale, presso l'estremo avrò un contributo nullo che fa differire il risultato da quello dell'integrale stesso. L'interesse era dunque nel capire se effettivamente si accetta il risultato dell'integrale perché, anche non considerando il contributo infinitesimo del momento presso il polo, il risultato varierebbe di un quantità ridicola.

[anonymous_0b37e9]

Dopo aver calcolato il seguente integrale:

$M_O=\int_{0}^{L}qxdx=1/2qL^2$

si osserva che, per risparmaire tempo, si può determinare il momento flettente immaginando una sola forza concentrata di modulo $qL$ applicata nel punto medio dell'asta. Ovviamente, se si considera il corpo deformabile, un conto è avere un carico costante distribuito, un conto è avere una forza concentrata. Tuttavia, non mi sembra quest'ultimo l'argomento in esame.