Cariche in equilibrio

[Jhons1]

Due cariche puntiformi libere +q e +4q si trovano ad una distanza L l'una dall'altra. Una terza carica viene posizionata in mdo che l'intero sistema sia in equilibrio. (a) Si trovino il segno, il valore e la posizione della terza carica- (b) Si mostri che l'equilibrio è instabile.

***
Dato che le cariche sono tre le possibilità sono due: 1) Si dispongono lungo una retta; 2) Si dispongono lungo i vertici di un triangolo. Come si può stabilire quale delle due è la disposizione corretta?

Supponiamo si dispongano lungo una retta. In tal caso imposterei il seguente sistema ($q_1=+q, q_2=+4q, q_3=\text{carica incognita}=x$):

$\{(F_1=F_(12)+F_(13)=k(4q^2)/(L^2)+k(qx)/(y^2)=0),(F_2=F_(12)+F_(23)=k(4q^2)/(L^2)+k(4qx)/(z^2)=0),(F_3=F_(13)+F_(23)=k(qx)/(y^2)+k(4qx)/(z^2)=0):}$

Ma risolvendo questo sistema ottengo $x=y=z=0$. Potete darmi una mano?

[Falco5x]

I dubbi su come si possano disporre queste cariche li sciogli con considerazioni fisiche.
Se stessero sui vertici di un triangolo, considerata la carica che sta su un vertice la forza totale che proviene dalle altre due cariche non potrebbe mai essere nulla, perché due vettori diretti in direzioni diverse non possono mai dare somma nulla. Pertanto stanno sicuramente su una retta.
Siccome le cariche date sono di uguale segno, se la terza carica le vedesse entrambe dalla stessa parte riceverebbe un contributo di forza da parte di esse che è nello stesso verso, dunque non potrebbe mai essere complessivamente nullo. Non resta che concludere che la terza carica deve per foza stare tra le due ed essere di segno opposto.
In questo caso basta che tu prenda la terza delle espressioni che hai scritto imponendo [tex]y + z = L[/tex]. Così ricavi subito ad esempio [tex]y = \frac{L}{3}[/tex], e sostituendo nella prima ricavi [tex]{x}[/tex].

[Jhons1]

"Falco5x":Se stessero sui vertici di un triangolo, considerata la carica che sta su un vertice la forza totale che proviene dalle altre due cariche non potrebbe mai essere nulla, perché due vettori diretti in direzioni diverse non possono mai dare somma nulla. Pertanto stanno sicuramente su una retta.
Siccome le cariche date sono di uguale segno, se la terza carica le vedesse entrambe dalla stessa parte riceverebbe un contributo di forza da parte di esse che è nello stesso verso, dunque non potrebbe mai essere complessivamente nullo. Non resta che concludere che la terza carica deve per foza stare tra le due ed essere di segno opposto.
In questo caso basta che tu prenda la terza delle espressioni che hai scritto imponendo [tex]y + z = L[/tex]. Così ricavi subito ad esempio [tex]y = \frac{L}{3}[/tex], e sostituendo nella prima ricavi [tex]{x}[/tex].

Sostituendo $z = L - y$ nelle terza espressione:

$F_3=F_(13)+F_(23)=k(qx)/(y^2)+k(4qx)/(z^2)=1/(y^2)+4/(z^2) = 1/(y^2) + 4/(L^2+y^2-2Ly) = 0$

che non ha radici reali. Cosa sbaglio?
Cosa puoi dirmi riguardo il quesito (b)?

[Falco5x]

"Jhons":
$ 1/(y^2) + 4/(L^2+y^2-2Ly) = 0$

che non ha radici reali. Cosa sbaglio?
Cosa puoi dirmi riguardo il quesito (b)?

Le due forze hanno verso opposto, vanno eguagliati i loro moduli per ottenere l'equilibrio perchè una tira la carica x verso destra, l'altra verso sinistra:
[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {L - y} \right)}^2}}} \\
4{y^2} = {\left( {L - y} \right)^2} \\
3{y^2} + 2Ly - {L^2} = 0 \\
y = \frac{{ - L + \sqrt {{L^2} + 3{L^2}} }}{3} = \frac{L}{3} \\
\end{array}[/tex]

Se per fissare le idee piazziamo la carica q nell'origine dell'ascissa y e la carica 4q nel punto di ascissa L, la forza risultante sulla carica x si scrive così:

[tex]{F_r} = \frac{{kqx}}{{{y^2}}} - \frac{{k4qx}}{{{{\left( {L - y} \right)}^2}}}[/tex]

Il primo addendo è di segno negativo (la x è carica negatva), il che significa che la forza su x applicata da q ha verso contrario a quello dell'asse y, il secondo addendo ha segno + (cioè --), il che significa che la forza su x applicata da 4q ha verso concorde con l'asse y.
Nel punto di equilibrio, cioè quando [tex]y = \frac{L}{3}[/tex] la forza risultante è nulla. Il che significa che in quel punto intermedio tra q e 4q il campo elettrico prodotto dalle due cariche è nullo. In quel punto, dunque, il potenziale ha un minimo o un massimo. Per vedere se è un minimo o un massimo occorre valutare la derivata seconda del potenziale. I calcoli sono questi:

[tex]\begin{array}{l}
V = \frac{{kq}}{y} + \frac{{4kq}}{{\left( {L - y} \right)}} \\
\frac{{dV}}{{dy}} = - \frac{{kq}}{{{y^2}}} + \frac{{4kq}}{{{{\left( {L - y} \right)}^2}}} = - E \\
y = \frac{L}{3};\quad \frac{{dV}}{{dy}} = - \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{L}{3}} \right)}^2}}} + \frac{{4kq}}{{{{\left( {\frac{{2L}}{3}} \right)}^2}}} = 0 \\
\frac{{{d^2}V}}{{d{y^2}}} = + \frac{{kq}}{{{y^3}}} + \frac{{4kq}}{{{{\left( {L - y} \right)}^3}}} \\
y = \frac{L}{3};\quad \frac{{{d^2}V}}{{d{y^2}}} = + \frac{{kq}}{{{{\left( {\frac{L}{3}} \right)}^3}}} + \frac{{4kq}}{{{{\left( {\frac{{2L}}{3}} \right)}^3}}} = + \frac{{81kq}}{{2{L^3}}} > 0 \\
\end{array}[/tex]

Come si vede la derivata seconda del potenziale in quel punto è maggiore di zero, dunque siamo in un punto di minimo relativo per il potenziale.
Noi sappiamo che le cariche positive hanno tendenza a essere stabili in una buca di potenziale, mentre le cariche negative, al contrario, sono stabili su un punto di massimo relativo di potenziale.
In questo caso, dunque, ponendo una carica negativa nella buca di potenziale essa si trova in equiliobrio instabile perché tende a sfuggire dalla buca non appena si tende a spostarla di un dy infinitesimo dal punto di equilibrio