Carica totale in presenza di campo elettrico non uniforme
Un campo elettrico in una regione di spazio compresa da $x = 0$ e $x = 1$ ha andamento del tipo $\vec{E} = (100e^{\frac{-x}{L}}, 0, 0)$. Calcolare:
1) La densità di carica elettrica nello spazio e la carica totale presente nel cubo di spigolo $L = 1m$
2) La ddp tra $0$ e $L$ e dire se il campo elettrico soddisfa la condizione necessaria alla definizione di potenziale elettrico
3) La carica totale presente nel cubo utilizzando il Teorema di Gauss e confrontare il risultato con il punto 1
4) L'energia elettrostatica nel cubo
Primo punto
Utilizzando la divergenza del campo elettrico ho ricavato che la densità volumetrica è $\rho = -890\cdot 10^{-12}\cdot e^{-x}$ che risulta non uniforme.
Dunque $dQ = \rho dV = \rho S\cdot dx$ e allora (essendo $S = L\cdot L = 1$)
$\int_0^L \rho S\cdot dx = -890\cdot 10^{-12} \int_0^1 e^{-x} dx = 534\cdot 10^{-12}$
Ma nel terzo punto trovo un risultato diverso...
Secondo punto
$V_L - V_0 = \int_0^L \vec{E} dl = 100 \int_0^1 e^{-x} dx = -100(\frac{1}{e}-1) = 63.2V$
Terzo punto
Essendo $Q = \phi_E \cdot \varepsilon_0$ allora calcolo il flusso attraverso le due facce del cubo parallele al piano yz
$Q = (E_0S_1 + E_LS_2) \cdot \varepsilon_0$ ma essendo $S_1 = S_2 = 1$ resta
$Q = (E_0 + E_L) \cdot \varepsilon_0$ dove $E_i$ è il campo elettrico valutato in $x = i$
$Q = (100 + 37) \cdot \varepsilon_0 = 1219\cdot 10^{-12}$
che è nettamente diverso dal risultato ottenuto nel primo punto...
Quarto punto
$U_E = \frac{\varepsilon_0 E^2 V}{2} = 4.4\cdot 10^{-8} \cdot e^{-2x}$
ma va integrato fra $0$ e $L$ giusto?
Grazie in anticipo!
1) La densità di carica elettrica nello spazio e la carica totale presente nel cubo di spigolo $L = 1m$
2) La ddp tra $0$ e $L$ e dire se il campo elettrico soddisfa la condizione necessaria alla definizione di potenziale elettrico
3) La carica totale presente nel cubo utilizzando il Teorema di Gauss e confrontare il risultato con il punto 1
4) L'energia elettrostatica nel cubo
Primo punto
Utilizzando la divergenza del campo elettrico ho ricavato che la densità volumetrica è $\rho = -890\cdot 10^{-12}\cdot e^{-x}$ che risulta non uniforme.
Dunque $dQ = \rho dV = \rho S\cdot dx$ e allora (essendo $S = L\cdot L = 1$)
$\int_0^L \rho S\cdot dx = -890\cdot 10^{-12} \int_0^1 e^{-x} dx = 534\cdot 10^{-12}$
Ma nel terzo punto trovo un risultato diverso...
Secondo punto
$V_L - V_0 = \int_0^L \vec{E} dl = 100 \int_0^1 e^{-x} dx = -100(\frac{1}{e}-1) = 63.2V$
Terzo punto
Essendo $Q = \phi_E \cdot \varepsilon_0$ allora calcolo il flusso attraverso le due facce del cubo parallele al piano yz
$Q = (E_0S_1 + E_LS_2) \cdot \varepsilon_0$ ma essendo $S_1 = S_2 = 1$ resta
$Q = (E_0 + E_L) \cdot \varepsilon_0$ dove $E_i$ è il campo elettrico valutato in $x = i$
$Q = (100 + 37) \cdot \varepsilon_0 = 1219\cdot 10^{-12}$
che è nettamente diverso dal risultato ottenuto nel primo punto...
Quarto punto
$U_E = \frac{\varepsilon_0 E^2 V}{2} = 4.4\cdot 10^{-8} \cdot e^{-2x}$
ma va integrato fra $0$ e $L$ giusto?
Grazie in anticipo!
Risposte
"DeltaEpsilon":
Terzo punto
Essendo $Q = \phi_E \cdot \varepsilon_0$ allora calcolo il flusso attraverso le due facce del cubo parallele al piano yz
$Q = (E_0S_1 + E_LS_2) \cdot \varepsilon_0$
Ci vuole un meno, non un più
"mgrau":
[quote="DeltaEpsilon"]
Terzo punto
Essendo $Q = \phi_E \cdot \varepsilon_0$ allora calcolo il flusso attraverso le due facce del cubo parallele al piano yz
$Q = (E_0S_1 + E_LS_2) \cdot \varepsilon_0$
Ci vuole un meno, non un più[/quote]
Hai ragione, che tonto
Ma scusa, non dovrebbe essere -100+37 invece che 100-37?
Il campo è diretto verso l'asse x positivo, e la normale alla prima superficie (x=0) è diretta verso le x negative, quindi il flusso per quella prima faccia è negativo... ma questo mi porta ad avere una carica totale negativa, mentre nel primo punto risulta positiva
"DeltaEpsilon":
Utilizzando la divergenza del campo elettrico ho ricavato che la densità volumetrica è $\rho = -890\cdot 10^{-12}\cdot e^{-x}$
.
.
.
ma questo mi porta ad avere una carica totale negativa, mentre nel primo punto risulta positiva
Come fa a risultarti una carica positiva se la densità è sempre negativa?
Come ha fatto notare mgrau, la carica totale deve essere negativa. Ti sei confuso con i segni nell integrale $\int_0 ^1 e^(-x)$, che è positivo e vale $(-1/e + 1)$, moltiplicato per una costante negativa restituisce un valore negativo. Devi quindi correggere qui:
e qui:
(Ma quel campo elettrico è misurato in mele o in patate? E quella quantità di carica?)
Per quanto riguarda l'energia elettrostatica nel cubo, se vuoi utilizzare la relazione in funzione della densità di energia del campo elettrico $u= (\varepsilon_0 E^2)/2$, tecnicamente dovresti integrare su tutto lo spazio in cui è definito $E$, in questo caso l'intero asse $x$ tra $-\infty$ e $+\infty$.
Altrimenti puoi usare la definizione di energia elettrostatica $U=1/2 \int_(\tau) \rho V d\tau$ e integrare solo sul volume $\tau$ dove è presente la carica (tutto il cubo).
In questo caso particolare, puoi utilizzare il secondo metodo perché direi che $\int_(-\infty) ^(+\infty) e^(-2x)$ diverge un bel po'
"DeltaEpsilon":
$\int_0^L \rho S\cdot dx = -890\cdot 10^{-12} \int_0^1 e^{-x} dx = 534\cdot 10^{-12}$
e qui:
"DeltaEpsilon":
$V_L - V_0 = \int_0^L \vec{E} dl = 100 \int_0^1 e^{-x} dx = -100(\frac{1}{e}-1) = 63.2V$
(Ma quel campo elettrico è misurato in mele o in patate? E quella quantità di carica?)
Per quanto riguarda l'energia elettrostatica nel cubo, se vuoi utilizzare la relazione in funzione della densità di energia del campo elettrico $u= (\varepsilon_0 E^2)/2$, tecnicamente dovresti integrare su tutto lo spazio in cui è definito $E$, in questo caso l'intero asse $x$ tra $-\infty$ e $+\infty$.
Altrimenti puoi usare la definizione di energia elettrostatica $U=1/2 \int_(\tau) \rho V d\tau$ e integrare solo sul volume $\tau$ dove è presente la carica (tutto il cubo).
In questo caso particolare, puoi utilizzare il secondo metodo perché direi che $\int_(-\infty) ^(+\infty) e^(-2x)$ diverge un bel po'
Grazie mille
"singularity":
Per quanto riguarda l'energia elettrostatica nel cubo, se vuoi utilizzare la relazione in funzione della densità di energia del campo elettrico $u= (\varepsilon_0 E^2)/2$, tecnicamente dovresti integrare su tutto lo spazio in cui è definito $E$, in questo caso l'intero asse $x$ tra $-\infty$ e $+\infty$.
Altrimenti puoi usare la definizione di energia elettrostatica $U=1/2 \int_(\tau) \rho V d\tau$ e integrare solo sul volume $\tau$ dove è presente la carica (tutto il cubo).
In questo caso particolare, puoi utilizzare il secondo metodo perché direi che $\int_(-\infty) ^(+\infty) e^(-2x)$ diverge un bel po'
E certo che il primo metodo diverge... ma se proponi due metodi, e questi danno risultati diversi, direi che hai un problema... Il fatto è che il primo metodo è sbagliato... perchè poi si dovrebbe integrare su tutto lo spazio, se vogliamo l'energia nel cubo?
Caro mgrau, prima di dire che il metodo è sbagliato, cerca di assicurarti che lo sia. Non so se lo sai (a quanto pare no), ma si dimostra che la relazione per l'energia elettrostatica di un generico sistema di cariche espressa tramite la definizione:
Si può ricondurre a questa relazione:
Dove $\tau$ è un qualunque volume che contenga la distribuzione di carica e $S$ è la superficie che lo racchiude.
Se ora facciamo tendere $\tau$ all'infinito, in modo da coprire tutto lo spazio in cui $vec(E_0)$ è diverso da zero, (o anche tutto $RR^3$, perché tanto dove il campo è nullo, non c'è contributo agli integrali), il contributo dell'integrale di superficie si annulla, e rimaniamo con la sola espressione:
che va integrata, come dicevo, su tutto lo spazio in cui il campo è diverso da zero. Dato che siamo partiti dalla definizione generale di energia elettrostatica, questo è valido per un qualunque sistema di cariche.
Nel caso proposto da DeltaEpsilon però, questo metodo è inutile, perché gli esponenziali sono brutti e cattivi e non fanno altro che divergere (mannaggia
).
Se sei interessato alla dimostrazione completa, la trovi sul "Fisica II" di Mencuccini-Silvestrini (Liguori Editore), al capitolo II (Sistemi di conduttori e campo elettrostatico), paragrafo 4 (Energia del campo elettrostatico).
Qui trovi un mio vecchio thread in cui provo a verificare l'equivalenza delle due relazioni per il caso della sfera conduttrice carica. Grazie a Palliit che mi venne in soccorso allora, ci siamo riusciti
$ U=1/2 \int_(\tau) \rho V d\tau $
Si può ricondurre a questa relazione:
$U = (epsilon_0)/2 int_(S) V vec(E_0) \cdot d vec(S) + (epsilon_0)/2 int_(tau) E_0 ^2 d tau$
Dove $\tau$ è un qualunque volume che contenga la distribuzione di carica e $S$ è la superficie che lo racchiude.
Se ora facciamo tendere $\tau$ all'infinito, in modo da coprire tutto lo spazio in cui $vec(E_0)$ è diverso da zero, (o anche tutto $RR^3$, perché tanto dove il campo è nullo, non c'è contributo agli integrali), il contributo dell'integrale di superficie si annulla, e rimaniamo con la sola espressione:
$U=(epsilon_0)/2 int E_0 ^2 d tau$
che va integrata, come dicevo, su tutto lo spazio in cui il campo è diverso da zero. Dato che siamo partiti dalla definizione generale di energia elettrostatica, questo è valido per un qualunque sistema di cariche.
Nel caso proposto da DeltaEpsilon però, questo metodo è inutile, perché gli esponenziali sono brutti e cattivi e non fanno altro che divergere (mannaggia
). Se sei interessato alla dimostrazione completa, la trovi sul "Fisica II" di Mencuccini-Silvestrini (Liguori Editore), al capitolo II (Sistemi di conduttori e campo elettrostatico), paragrafo 4 (Energia del campo elettrostatico).
Qui trovi un mio vecchio thread in cui provo a verificare l'equivalenza delle due relazioni per il caso della sfera conduttrice carica. Grazie a Palliit che mi venne in soccorso allora, ci siamo riusciti
Per carità, troppo complicato... ma ho l'impressione (solo l'impressione, eh!) che tu pensi che quel campo sia generato dalla cariche presenti nel cubo, cosa che ovviamente non è vera.
E di conseguenza ti calcoli l'energia dell'intero campo e la attribuisci alle cariche miserelle dentro il cubo.
In secondo luogo - o meglio, in primo luogo - mi pare che trascuri di affrontare il problema che ho segnalato: due metodi giusti, ma risultati diversi...
E di conseguenza ti calcoli l'energia dell'intero campo e la attribuisci alle cariche miserelle dentro il cubo.
In secondo luogo - o meglio, in primo luogo - mi pare che trascuri di affrontare il problema che ho segnalato: due metodi giusti, ma risultati diversi...
"mgrau":
Per carità, troppo complicato... ma ho l'impressione (solo l'impressione, eh!) che tu pensi che quel campo sia generato dalla cariche presenti nel cubo, cosa che ovviamente non è vera.
E di conseguenza ti calcoli l'energia dell'intero campo e la attribuisci alle cariche miserelle dentro il cubo.
In secondo luogo - o meglio, in primo luogo - mi pare che trascuri di affrontare il problema che ho segnalato: due metodi giusti, ma risultati diversi...
Mea culpa per la prima parte. Mi sono espresso male, posso capire perché hai avuto quella impressione. Mi sono distratto e ho risposto come se la carica fosse localizzata lì e non distribuita infinitamente.
Il punto è che OP ha buttato lì la formula della densità di energia, chiedendosi dove andava integrata e ci tenevo a spiegargli come funziona.
Il fatto che, anche nel caso in cui la carica sia localizzata in una porzione finita di spazio, la densità di energia vada integrata ovunque è un risultato molto importante, perché mostra che dove c'è campo c'è energia, anche se lì non ci sono cariche.
Che poi in questo caso non fosse applicabile, non mi pare di averne fatto mistero, anzi l'ho sottolineato.
p.s. comunque la dimostrazione non è per niente complicata, sono sicuro che tu la riusciresti a seguire senza problemi. Se ti incuriosisce vattela a guardare, o posso mandarti io un paio di scannerizzazioni, è molto interessante.
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