Carica o scarica di un condensatore?
Un condensatore di capacita C=100 nF inizialmente carico con V0=1000V. Al tempo t=0 L'interruttore che collega il condensatore ad una resistenza R=1,5 k ohm viene chiuso, stabilendo il contatto. Calcolare dopo quanto tempo il potenziale Vc ai capi di C avrà valore Vc= 1V.
Ecco la figura
Allora premetto che non so quale debba essere il risultato quindi potremmo ragionarci insieme. Io ho provato a farlo così:
Ho calcolato τ=RC=1,5 * 10-4
poi dato che nel circuito non vi è la batteria ma solo il condensatore e la resistenza ho pensato che tutta la carica si dissipasse attraverso R quindi al massimo la Qi diminuisce. Dunque nell'equazione per i circuiti RC ε=0
Però poi ho ragionato su un'altra equazione:
\(\displaystyle i(t)=Qi/RC * e^(-t/τ) \)
Ma dato che I=V/R ho moltiplicato a destra e sinistra per R così da imporre \(\displaystyle -Qi/C * e^(-t/τ) =1 V \)
Però c'è un segno meno che non mi torna.. ha senso questo ragionamento?
Ecco la figura
Allora premetto che non so quale debba essere il risultato quindi potremmo ragionarci insieme. Io ho provato a farlo così:
Ho calcolato τ=RC=1,5 * 10-4
poi dato che nel circuito non vi è la batteria ma solo il condensatore e la resistenza ho pensato che tutta la carica si dissipasse attraverso R quindi al massimo la Qi diminuisce. Dunque nell'equazione per i circuiti RC ε=0
Però poi ho ragionato su un'altra equazione:
\(\displaystyle i(t)=Qi/RC * e^(-t/τ) \)
Ma dato che I=V/R ho moltiplicato a destra e sinistra per R così da imporre \(\displaystyle -Qi/C * e^(-t/τ) =1 V \)
Però c'è un segno meno che non mi torna.. ha senso questo ragionamento?
Risposte
La formula (*)che fornisce l'andamento della tensione sul condensatore durante la scarica è $ v_c(t) = v_c(0)*e^(-t/tau )$ essendo nel nostro caso $v_c(0)=1000 V ; tau = RC = 1.5/(10^4) $
Si vuole sapere dopo quanto tempo la tensione $v_c(t)=1 $.
Si tratta di risolvere l'equazione $1=1000*e^(-t*10^4/1.5) rarr 1/1000= e^(-t*10^4/1.5)$
Applicando il logaritmo ad entrambi i membri si ottiene $t= 1.036 ms $
(*) è soluzione dell'equazione differenziale lineare del primo ordine , omogenea $ (dv_c(t))/(dt)+(v_c(t))/tau =0 $
Tale equazione deriva dall'applicazione della LKT al circuito cioè : $ Ri(t)+v_c(t)=0 $ ma la relazione costitutiva del condensatore dice che $ i=C (dv_c(t))/(dt) $ e quindi $RC (dv_c(t))/(dt)+v_c(t)=0 $
Si vuole sapere dopo quanto tempo la tensione $v_c(t)=1 $.
Si tratta di risolvere l'equazione $1=1000*e^(-t*10^4/1.5) rarr 1/1000= e^(-t*10^4/1.5)$
Applicando il logaritmo ad entrambi i membri si ottiene $t= 1.036 ms $
(*) è soluzione dell'equazione differenziale lineare del primo ordine , omogenea $ (dv_c(t))/(dt)+(v_c(t))/tau =0 $
Tale equazione deriva dall'applicazione della LKT al circuito cioè : $ Ri(t)+v_c(t)=0 $ ma la relazione costitutiva del condensatore dice che $ i=C (dv_c(t))/(dt) $ e quindi $RC (dv_c(t))/(dt)+v_c(t)=0 $
Grazie mille! Comunque con il mio ragiomento ottengo comunque lo stesso risultato! Senza mettere il meno nell'equazione! 
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