Carica in una Sfera ed Elettrone
Si consideri una distribuzione di carica uniforme in un volume sferico di raggio $R=8$ cm. La carica è positiva e vale $Q=2*10^-13$ C. Determinare:
1) l'energia cinetica minima che deve avere un elettrone posto sulla superficie della sfera per potersene allontanare a distanza infinita.
Mi sapete aiutare per risolvere questo punto?
Nel punti precedenti il problema chiedeva il campo elettrico per rR e per questo non ho avuto problemi.
In precedenza chiedeva anche:
2) il potenziale elettrico in funzione della distanza r dal centro per r>R, mettendo uguale a zero il potenziale all'infinito.
In questo caso so come calcolare il potenziale però ho qualche dubbio sul mettere a zero quello all'infinito, sapete chiarirmi le idee? Io faccio l'integrale tra R e $\infty$ del campo elettrico esterno alla sfera però non so se è corretto. Come devo procedere in modo corretto?
Grazie per la Vostra disponibilità.
1) l'energia cinetica minima che deve avere un elettrone posto sulla superficie della sfera per potersene allontanare a distanza infinita.
Mi sapete aiutare per risolvere questo punto?
Nel punti precedenti il problema chiedeva il campo elettrico per r
In precedenza chiedeva anche:
2) il potenziale elettrico in funzione della distanza r dal centro per r>R, mettendo uguale a zero il potenziale all'infinito.
In questo caso so come calcolare il potenziale però ho qualche dubbio sul mettere a zero quello all'infinito, sapete chiarirmi le idee? Io faccio l'integrale tra R e $\infty$ del campo elettrico esterno alla sfera però non so se è corretto. Come devo procedere in modo corretto?
Grazie per la Vostra disponibilità.
Risposte
Mi sembra che si potrebbe fare così ....
Se si applica la conservazione dell'energia:
$E_text(totale)(oo)=E_text(totale)(R)$
dove ($U$ è l'energia potenziale e $K$ l'energia cinetica)
$E_text(totale)(oo)=U(oo)+K(oo)=0+0=0$
e
$E_text(totale)(R)=U(R)+K(R)=-k_e*(Q*e)/R + K(R)$.
Da cui
$K(R)=k_e*(Q*e)/R=8.99*10^9*(2*10^(-13)*1.6*10^(-19))/(8*10^(-2)) \ J= 3.6*10^(-21) \ J$.
Il campo elettrico esterno alla sfera è uguale a quello che si avrebbe se tutta la carica $Q$ fosse concentrata al centro: quindi anche il potenziale è quello del campo creato da una carica puntiforme $Q$ a distanza $r$. Per cui
$V(r) = k_e*Q/r$, con $r>=R$.
Se si applica la conservazione dell'energia:
$E_text(totale)(oo)=E_text(totale)(R)$
dove ($U$ è l'energia potenziale e $K$ l'energia cinetica)
$E_text(totale)(oo)=U(oo)+K(oo)=0+0=0$
e
$E_text(totale)(R)=U(R)+K(R)=-k_e*(Q*e)/R + K(R)$.
Da cui
$K(R)=k_e*(Q*e)/R=8.99*10^9*(2*10^(-13)*1.6*10^(-19))/(8*10^(-2)) \ J= 3.6*10^(-21) \ J$.
Il campo elettrico esterno alla sfera è uguale a quello che si avrebbe se tutta la carica $Q$ fosse concentrata al centro: quindi anche il potenziale è quello del campo creato da una carica puntiforme $Q$ a distanza $r$. Per cui
$V(r) = k_e*Q/r$, con $r>=R$.
Ciao, grazie per aver dato risposta ai mie dubbi.
Solo una cosa, per te $k_e = \frac(1)(4\pi*\varepsilon_0)$ vero?
Per quanto riguarda il potenziale elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro per $r>R$, mettendo uguale a zero il potenziale all'infinito il procedimento che ho seguito io è il seguente:
Ho calcolato il campo elettrico per:
$r
$E(r)*4\pi*r^2 = \frac(\rho*frac(4)(3)*\pi*r^3)(\varepsilon_0)$ con $\rho = \frac(Q)(\frac(4)(3)*pi*R^3)$
ed ottengo: $E(r)=\rho*\frac(1)(3)*r*\frac(1)(\varepsilon_0)$
$r>R$
$E(r) = \rho*\frac(R^3)(\varepsilon_0*3*r^2)$
Quindi mi calcolo il potenziale elettrico:
$V(c) = \int_c^\infty E dl = \frac(Q)(4\pi*\varepsilon_0)*(\int_0^R \frac(r)(R^3)dr + \int_R^\infty \frac(dr)(r)) = \frac(Q)(4\pi*\varepsilon_0)*(\frac(1)(2*R) + ln(R))$
è corretto?
Solo una cosa, per te $k_e = \frac(1)(4\pi*\varepsilon_0)$ vero?
Per quanto riguarda il potenziale elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro per $r>R$, mettendo uguale a zero il potenziale all'infinito il procedimento che ho seguito io è il seguente:
Ho calcolato il campo elettrico per:
$r
$E(r)*4\pi*r^2 = \frac(\rho*frac(4)(3)*\pi*r^3)(\varepsilon_0)$ con $\rho = \frac(Q)(\frac(4)(3)*pi*R^3)$
ed ottengo: $E(r)=\rho*\frac(1)(3)*r*\frac(1)(\varepsilon_0)$
$r>R$
$E(r) = \rho*\frac(R^3)(\varepsilon_0*3*r^2)$
Quindi mi calcolo il potenziale elettrico:
$V(c) = \int_c^\infty E dl = \frac(Q)(4\pi*\varepsilon_0)*(\int_0^R \frac(r)(R^3)dr + \int_R^\infty \frac(dr)(r)) = \frac(Q)(4\pi*\varepsilon_0)*(\frac(1)(2*R) + ln(R))$
è corretto?
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