Carica in moto: raggio dell'elica.
Salve ragazzi! Mi occorre ancora una volta il vostro aiuto.
Supponiamo che una particella di carica q e massa m si trovi in moto in una regione dello spazio in cui agisce un campo magnetico uniforme. Se conosco le componenti dei vettori v e B come posso arrivare all'espressione del raggio dell'elica?
So esprimerlo in termini scalari ma in tale situazione mi trovo in difficoltà.
Grazie a chi risponderà!
Supponiamo che una particella di carica q e massa m si trovi in moto in una regione dello spazio in cui agisce un campo magnetico uniforme. Se conosco le componenti dei vettori v e B come posso arrivare all'espressione del raggio dell'elica?
So esprimerlo in termini scalari ma in tale situazione mi trovo in difficoltà.
Grazie a chi risponderà!
Risposte
L'unica forza agente sulla carica e' la forza di Lorentz generata dal campo magnetico, la forza di Lorentz NON compie lavoro sulla carica e fa si che questa si muova su un orbita circolare per cui
[tex]F_{lor}\ =\ ma; a= \frac{v^2}{r}[/tex]
dove il termine [tex]\frac{v^2}{r}[/tex] e' l'accelerazione centripeta.
hai che il vettore v e il vettore B formano un angolo qualsiasi, per cui puoi scomporre il vettore v in direzione perpendicolare e parallela rispetto al campo magnetico [tex]\vec{v}\ =\ (v_{\perp}; v_{\parallel})[/tex]
e dunque hai
[tex]q \vec v\ \wedge \vec B\ =\ m\frac{v^2}{r}\rightarrow\ q\ v_{\perp}\ B\ =\ m\frac{v^2}{r}\ \rightarrow\ v_{\perp}\ =\ \frac{mv^2}{qrB}[/tex]
a questo punto puoi calcolarti la componente della velocita' parallela al campo magnetico
[tex]v^2\ =\ v_{\perp}^2\ +\ v_{\parallel}^2\ \rightarrow\ v_{\parallel}\ =\ \sqrt{v^2\ -\ v_{\perp}^2}[/tex]
poi dovresti sapere che il passo dell'elica e' dato da [tex]p=v_{\parallel}\ T[/tex] dove T e' il periodo di rotazione della carica, ovvero il tempo che ci mette a compiere un'orbita, che puoi trovare semplicemente come
[tex]T\ =\ \frac{1}{\omega}\ =\ \left(\frac{v_{\perp}}{r}\right)^{-1}[/tex]
e il gioco dovrebbe essere fatto ...
[tex]F_{lor}\ =\ ma; a= \frac{v^2}{r}[/tex]
dove il termine [tex]\frac{v^2}{r}[/tex] e' l'accelerazione centripeta.
hai che il vettore v e il vettore B formano un angolo qualsiasi, per cui puoi scomporre il vettore v in direzione perpendicolare e parallela rispetto al campo magnetico [tex]\vec{v}\ =\ (v_{\perp}; v_{\parallel})[/tex]
e dunque hai
[tex]q \vec v\ \wedge \vec B\ =\ m\frac{v^2}{r}\rightarrow\ q\ v_{\perp}\ B\ =\ m\frac{v^2}{r}\ \rightarrow\ v_{\perp}\ =\ \frac{mv^2}{qrB}[/tex]
a questo punto puoi calcolarti la componente della velocita' parallela al campo magnetico
[tex]v^2\ =\ v_{\perp}^2\ +\ v_{\parallel}^2\ \rightarrow\ v_{\parallel}\ =\ \sqrt{v^2\ -\ v_{\perp}^2}[/tex]
poi dovresti sapere che il passo dell'elica e' dato da [tex]p=v_{\parallel}\ T[/tex] dove T e' il periodo di rotazione della carica, ovvero il tempo che ci mette a compiere un'orbita, che puoi trovare semplicemente come
[tex]T\ =\ \frac{1}{\omega}\ =\ \left(\frac{v_{\perp}}{r}\right)^{-1}[/tex]
e il gioco dovrebbe essere fatto ...
Innanzitutto ti ringrazio per aver risposto. Tutto ciò che hai detto mi torna perfettamente e non so come ho potuto non pensarci. Il solo dubbio che mi è rimasto è legato al calcolo.
Dato B = (0, 0, Bo) e v = (v1, 0 ,v3) la componente parallela al campo del vettore B è v1 mentre v3 è quella ortogonale.
Dunque : r = m * (v1^2 + v2^2)/(q * Bo * v1).
Il risultato non torna per che la soluzione del quesito è
r = (m * v1)/(q * Bo ).
Sai gentilmente indicarmi dove sbaglio :S
Dato B = (0, 0, Bo) e v = (v1, 0 ,v3) la componente parallela al campo del vettore B è v1 mentre v3 è quella ortogonale.
Dunque : r = m * (v1^2 + v2^2)/(q * Bo * v1).
Il risultato non torna per che la soluzione del quesito è
r = (m * v1)/(q * Bo ).
Sai gentilmente indicarmi dove sbaglio :S
la componenta parallela sara', semmai, v3, v1 e' quella ortogonale (ammesso che tu abbia scelto un sistema di riferimento ortogonale 
)
edit: cmq si, guardando bene anche a me sembra strana quella soluzione ...
)edit: cmq si, guardando bene anche a me sembra strana quella soluzione ...
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