Carica e flusso elettrico
Ciao....
"Una carica è distribuita in modo niforme nel vuoto all'interno di una regione sferica di raggio R. Calcola il campo elettrico in punti dello spazio interni alla sfera.
GRAZIE
"Una carica è distribuita in modo niforme nel vuoto all'interno di una regione sferica di raggio R. Calcola il campo elettrico in punti dello spazio interni alla sfera.
GRAZIE
Risposte
direi che il teorema di gauss si applichi molto facilmente...a questo caso
Ma il teorema di gauss non implica solo un flusso verso l'esterno? e poi, applicandolo non mi viene il risultato del libro che è
$E=k*Q/R^3*r$
$E=k*Q/R^3*r$
usa come superificie di gauss una sfera che racchiude la carica e sia di raggio r variabile da 0 a R sfera...
per definizione di flusso:
fi(E)=E*4pi*r^2
per Gauss:
fi(E)=(rho*(4/3)*pi*r^3)/epsilon_0)
ora uguagli e ottieni che
E=(rho*r*(4/3)*pi)/(4*pi*epsilon_0)
poi moltiplichi sia sopra che sotto per R^3 e ottieni che
E=(r*rho*R*(4/3)*pi)/(4*pi*epsilon_0*R^3)
ora è fatta poichè rho*R*(4/3)*pi=Q
mentre 1/(4*pi*epsilon_0) = k
rimane quello che dice il tuo libro.
per definizione di flusso:
fi(E)=E*4pi*r^2
per Gauss:
fi(E)=(rho*(4/3)*pi*r^3)/epsilon_0)
ora uguagli e ottieni che
E=(rho*r*(4/3)*pi)/(4*pi*epsilon_0)
poi moltiplichi sia sopra che sotto per R^3 e ottieni che
E=(r*rho*R*(4/3)*pi)/(4*pi*epsilon_0*R^3)
ora è fatta poichè rho*R*(4/3)*pi=Q
mentre 1/(4*pi*epsilon_0) = k
rimane quello che dice il tuo libro.
... mi sembra che quando moltiplichi sia il numeratore che il denominatore per R^3 ci sia un errore algebrico.... e poi, com'è possibile che io non sappia cosa tu intenda per rho e non conosca la formula che hai usato per risalire a Q???
)) nel senso che domani ho la verifica e, ripassando sul libro, di queste cose non ho trovato nulla....

La densita' di carica e' $rho=(carica)/(volume)=Q/(4piR^3//3)$
In una sfera di raggio r (e concentrica con quella data) la carica contenuta sara' allora:
(1) $q=volumessffera*densita'=(4pir^3)/3*Q/((4piR^3)/3)=Q/(R^3)r^3$
Il flusso uscente da tale sfera ,tenuto conto che per ragioni di simmetria il campo
e' radiale ,e' dato da:
$Phi=(campo)*(areassffera)=E*4pir^2$
Tale flusso,per Gauss,deve essere uguale alla carica q contenuta nella sfera
considerata (quella di raggio r) diviso per $epsilon_o$.Quindi:
$E*4pir^2=1/(epsilon_o)*q$ ovvero per la (1):
$E4pir^2=1/(epsilon_o)*Q/(R^3)r^3$ e ricavando E:
$E=1/(epsilon_o)*Q/(R^3)r^3*1/(4pir^2)=1/(4piepsilon_o)*Q/(R^3)r$
Tenuto conto che $1/(4piepsilon_o)=k$ si ha in definitiva il risultato richiesto:
$E=k*Q/(R^3)r$.Vale a dire :il campo elettrico,all'interno della sfera di raggio R,
cresce linearmente con r dal centro verso la periferia.
In particolare per r=0 ,cioe' proprio al centro della sfera,il campo e' nullo.
Questi risultati si possono trasferire anche al campo gravitazionale, percui
al centro della Terra (supposta sferica ed omogenea) la gravita'
e' nulla (come del resto si dedurrebbe anche intuitivamente).
karl
In una sfera di raggio r (e concentrica con quella data) la carica contenuta sara' allora:
(1) $q=volumessffera*densita'=(4pir^3)/3*Q/((4piR^3)/3)=Q/(R^3)r^3$
Il flusso uscente da tale sfera ,tenuto conto che per ragioni di simmetria il campo
e' radiale ,e' dato da:
$Phi=(campo)*(areassffera)=E*4pir^2$
Tale flusso,per Gauss,deve essere uguale alla carica q contenuta nella sfera
considerata (quella di raggio r) diviso per $epsilon_o$.Quindi:
$E*4pir^2=1/(epsilon_o)*q$ ovvero per la (1):
$E4pir^2=1/(epsilon_o)*Q/(R^3)r^3$ e ricavando E:
$E=1/(epsilon_o)*Q/(R^3)r^3*1/(4pir^2)=1/(4piepsilon_o)*Q/(R^3)r$
Tenuto conto che $1/(4piepsilon_o)=k$ si ha in definitiva il risultato richiesto:
$E=k*Q/(R^3)r$.Vale a dire :il campo elettrico,all'interno della sfera di raggio R,
cresce linearmente con r dal centro verso la periferia.
In particolare per r=0 ,cioe' proprio al centro della sfera,il campo e' nullo.
Questi risultati si possono trasferire anche al campo gravitazionale, percui
al centro della Terra (supposta sferica ed omogenea) la gravita'
e' nulla (come del resto si dedurrebbe anche intuitivamente).
karl
si scusa al numeratore ho moltiplicato solo per R e non per R^3.
GRAZIE MILLE A TUTTI e a Karl in particolare... una soluzione davvero chiara :->