Caratterizzazione trasformazioni di lorentz
TEOREMA. Se trasformazione A conserva il prodotto scalare $g=diag(1,-1,-1,-1)$, ovvero soddisfa
$$A^t g A = g$$
allora esistono due matrici 3-ortogonali $R_1,R_2$, ed esiste un boost X unidimensionale (lungo x), tali che
$$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & R_1\end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & R_2\end{pmatrix}$$
$$A^t g A = g$$
allora esistono due matrici 3-ortogonali $R_1,R_2$, ed esiste un boost X unidimensionale (lungo x), tali che
$$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & R_1\end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & R_2\end{pmatrix}$$
Risposte
Forme alternative della stessa domanda:
1. Data una matrice A del gruppo di Lorentz (generica) come trovo la velocità relativa tra i due sistemi di riferimento, ovvero il gamma?
2. Esiste una matrice che conservi il prodotto scalare g, ma nel contempo non possa essere scritta in questo modo cioè come composizione di rotazioni e di boost unidimensionale?
3. Come si dimostra il "Teorema", se è vero?
PS. X si intende della forma
$$X=\begin{pmatrix}\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0\\0 & 0& 0& 1\end{pmatrix}$$
1. Data una matrice A del gruppo di Lorentz (generica) come trovo la velocità relativa tra i due sistemi di riferimento, ovvero il gamma?
2. Esiste una matrice che conservi il prodotto scalare g, ma nel contempo non possa essere scritta in questo modo cioè come composizione di rotazioni e di boost unidimensionale?
3. Come si dimostra il "Teorema", se è vero?
PS. X si intende della forma
$$X=\begin{pmatrix}\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0\\0 & 0& 0& 1\end{pmatrix}$$
Vedi i due post sulla composizione delle velocità, che ti ho segnalato nell'altro thread.
ciao navigatore..scusa, ma i tuoi post non rispondono alla mia domanda.
La mia domanda è: data una matrice che conserva il prodotto scalare indotto da g, come determino il modulo della velocità relativa del boost? Cioè come separo l'aspetto "rotatorio" da quello del boost in una generica matrice del gruppo di Lorentz?
La mia domanda è: data una matrice che conserva il prodotto scalare indotto da g, come determino il modulo della velocità relativa del boost? Cioè come separo l'aspetto "rotatorio" da quello del boost in una generica matrice del gruppo di Lorentz?
Ho capito quello che chiedi, ma in tutta onestà non so rispondere. Si tratta, credo, più di una faccenda matematica che fisica.
Posso solo dirti che in rete ho trovato questa trattazione . Non so se può esserti utile.
Posso solo dirti che in rete ho trovato questa trattazione . Non so se può esserti utile.
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