Capacità di un condensatore cilindrico

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
vorrei sottoporvi un passo del mio libro di Fisica che non ho compreso pienamente.

La capacità di un condensatore cilindrico è pari a

$C=q/(V_1-V_2)=(2 pi epsilon_0 d)/ln(R_2/R_1)$

Se $h=R_2-R_1$ è molto minore dei raggi, sviluppando in serie il denominatore arrestandoci al primo termine,

$ln(R_2/R_1)=ln(1+(R_2-R_1)/R_1)=(R_2-R_1)/R_1=h/R_1$

Ciò che non capisco è come si fa a sviluppare in serie il denominatore.

[bgiorgio]

Il primo passaggio

\( \displaystyle {\ln{{\left(\frac{{R}_{{2}}}{{R}_{{1}}}\right)}}}={\ln{{\left({1}+\frac{{{R}_{{2}}-{R}_{{1}}}}{{R}_{{1}}}\right)}}} \)

è puramente algebrico. Il secondo

\( \displaystyle {\ln{{\left({1}+\frac{{{R}_{{2}}-{R}_{{1}}}}{{R}_{{1}}}\right)}}}=\frac{{{R}_{{2}}-{R}_{{1}}}}{{R}_{{1}}} \)

fa ricorso allo sviluppo in serie di Taylor nell'intorno del punto zero (Maclaurin) con variabile x=h/R1 che ti riporto

\( \displaystyle {\ln(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n }\)

Troncando la serie al primo termine ottieni, appunto, il secondo passaggio. Il terzo

\( \displaystyle {\frac{{{R}_{2}-{R}_{1}}}{{R}_{1}}=\frac{{h}}{{R}_{{1}}}}\)

è ovvio.

[sirio25788-votailprof]

Grazie.