Campo prodotto da filo infinito, no Gauss
Ciao a tutti, come da titolo stavo cercando di calcolarmi il campo elettrico generato da un filo infinito percorso da corrente con densità lineare di carica nota $lambda$.
Purtroppo il risultato mi esce scorretto: dovrebbe venire
$E=(2k_0lambda)/r$ ma al posto del $2$ al numeratore, mi ritrovo un $pi$.
Posto il procedimento, sperando che mi possiate correggere.
Prendo un contributo $dq$ che genera un campo
$dE=(k_0dq)/x^2$ (1)
ma $dq=lambdadL$, inoltre per Pitagora ho che
$x^2=L^2+r^2$
Quindi la (1) mi diventa
$dE=k_0lambda\frac{dL}{r^2+L^2}$
e integrando ho
$E=k_0lambda*int_(-infty)^(+infty) \frac{dL}{r^2+L^2}=(pik_0lambda)/(r)$
Inoltre ho rifatto i calcoli anche integrando in $d\theta$ e $dx$, ma l'errore resta.
Grazie in anticipo a chi mi fa notare l'errore.
Ciao!
Risposte
Non ne so molto e scusami se non ti sono di aiuto ma il campo elettrico è un vettore e quindi penso dovrebbe essere $dE = k*(lambda*dL)/x^2*costheta$
n.icola ha ragione. Stai integrando il modulo mentre devi consideralo un vettore. Se propio non vuoi usare Gauss, il modo più semplice per evitare l'errore è considerare il campo elementare prodotto da coppie cariche infinitesime $dq$ disposte simmetricamente ($L$ e $-L$) e integrare solo su mezzo filo...
ciao
ciao
"n.icola":
Non ne so molto e scusami se non ti sono di aiuto ma il campo elettrico è un vettore e quindi penso dovrebbe essere $dE = k*(lambda*dL)/x^2*costheta$
Altro che scusarti, ti ringrazio.
Mi sono rifatto i conti e viene.
Grazie anche a mircoFN per la conferma.
Buon pomeriggio, alla prossima.
Ciao!
n.icola ha ragione, è un vettore e come tale ha due componenti, supponendo il filo infinito possiamo però sfruttare l'alto grado di simmetria.
Non sapendo che terna di assi hai scelto ne metto una in modo che il filo giace su $z$ e quello che tu chiami versore $r$ giace su $y$
Innanzitutto le componenti del vettore sono:
$dE_y= dE cos \theta$
$dE_z= dE sen \theta$
Le componenti lungo z si annullano per simmetria.
Quindi dovresti integrare solo la componente y $-infty$ a $+infty$, ma per simmetria si vede che ciò che succede per i due semi assi da $0 -infty$ e $0 +infty$
è uguale quindi puoi scrivere l'integrale così:
$E_y=2\int_{0}^{+infty} cos \theta dE $
poichè $dE= (k_0 \lambda dz)/(y^2+z^2)
ma $z=y tg \theta$ differenziando $=> dz=y sec^2 \theta d\theta$
Adesso puoi integrare da $0$ a $\pi/2$, poichè $sen \pi/2 - sen 0=1$
Tutto viene:
$E=(2k_0\lambda)/y$
che è lo stesso risultato a qcui dovevi arrivare solo che r=y visto che lì ci ho messo l'asse... scusa se ho cambiato qualche nome ma senza assi nn m oriento mai...
Non sapendo che terna di assi hai scelto ne metto una in modo che il filo giace su $z$ e quello che tu chiami versore $r$ giace su $y$
Innanzitutto le componenti del vettore sono:
$dE_y= dE cos \theta$
$dE_z= dE sen \theta$
Le componenti lungo z si annullano per simmetria.
Quindi dovresti integrare solo la componente y $-infty$ a $+infty$, ma per simmetria si vede che ciò che succede per i due semi assi da $0 -infty$ e $0 +infty$
è uguale quindi puoi scrivere l'integrale così:
$E_y=2\int_{0}^{+infty} cos \theta dE $
poichè $dE= (k_0 \lambda dz)/(y^2+z^2)
ma $z=y tg \theta$ differenziando $=> dz=y sec^2 \theta d\theta$
Adesso puoi integrare da $0$ a $\pi/2$, poichè $sen \pi/2 - sen 0=1$
Tutto viene:
$E=(2k_0\lambda)/y$
che è lo stesso risultato a qcui dovevi arrivare solo che r=y visto che lì ci ho messo l'asse... scusa se ho cambiato qualche nome ma senza assi nn m oriento mai...
ehm scusa... stavo scrivendo e non ho visto che c' eri già riuscito...imparerò a mettere aggiorna più spesso!
Grazie lo stesso
Ciao.
Ciao.
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