Campo magnetico lungo asse anelli

[Fuuzz]

Buongiorno a tutti, qualcuno mi darebbe una mano ad impostare tale problema?

Due anelli paralleli aventi lo stesso asse sono separati da una piccola distanza ε.
Essi hanno lo stesso raggio a e su di essi circola la stessa corrente I, ma in direzioni
opposte. Si consideri il campo magnetico lungo l’asse degli anelli e si calcoli il punto in
cui raggiunge il suo valore massimo, nell’approssimazione ε<
Ho provato a risolverlo ma mi sono accorto che stavo considerando delle spire invece che degli anelli, quindi mi ritrovo punto e a capo.
Qualcuno ha dei suggerimenti?

[mgrau]

Che differenza c'è fra spire ed anelli?

[Fuuzz]

Gli anelli hanno volume, la spira no

[mgrau]

Se si dovesse interpretare così, immagino che si debba dare il raggio del filo, che invece non c'è.
Non è che la stai facendo più complicata del necessario?
E se invece fossero spire, come la risolveresti?

[RenzoDF]

Premesso che ti consiglio di provare prima a risolverlo autonomamente ...

Prova poi a dare un occhio al seguente vecchio 3D, dove noto solo ora che nei miei calcoli ho assunto una separazione doppia $2\epsilon$ fra le spire, ma chiaramente il discorso non cambia

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=141763&p=897753#p897753

[Fuuzz]

"RenzoDF":[/quote]
Ti ringrazio, con la funzione cerca non mi era saltato fuori; a occhio e croce sembra essere lo stesso esercizio!
Vorrei però chiederti alcuni chiarimenti; mi è chiaro il passaggio $B(x+\epsilon)-B(x-\epsilon)$, ma non capisco come da questo si arrivi a $(\frac{x+\epsilon }{x-\epsilon})^2\approx (\frac{x^2+2x\epsilon+R^2 }{ x^2-2x\epsilon+R^2} )^5$

[quote="mgrau"]

Avevo provato utilizzando il campo prodotto da una spira sull'asse ma non concludevo nulla di utile.

[RenzoDF]

"Fuuzz":... non capisco come da questo si arrivi a $(\frac{x+\epsilon }{x-\epsilon})^2\approx (\frac{x^2+2x\epsilon+R^2 }{ x^2-2x\epsilon+R^2} )^5$

Quello devi scoprirlo tu, cominciando a postare il campo risultante in un generico punto dell'asse, via sovrapposizione dei due campi parziali, poi di certo ti daremo una mano a proseguire.

[Fuuzz]

"RenzoDF":

Il fatto è che come campo parziale io otterrei $ B(x)=\frac{\muia^2 }{ 2(x^2+a^2)^(3/2)} $, e se esprimo nei due casi la $x$ al denominatore come $x+\epsilon$ ed $x-\epsilon$ se faccio la somma dei campi per ottenerne la sovrapposizione viene fuori solo un gran pasticcio ma nulla di vagamente simile a $ (\frac{x+\epsilon }{x-\epsilon})^2$.

[RenzoDF]

"Fuuzz":... e se esprimo nei due casi la $x$ al denominatore come $x+\epsilon$ ed $x-\epsilon$ se faccio la somma dei campi per ottenerne la sovrapposizione viene fuori solo un gran pasticcio

Non ti fare spaventare da quel denominatore, continuando (per comodità) ad indicare con $\epsilon$ non la distanza ma la semidistanza fra gli anelli, raccolti i fattori comuni dei due campi (come ho fatto nel thread linkato), ti troverai a dover considerare la sola differenza fra due termini del tipo

\((a^2+(x-\epsilon)^2)^{-3/2}\)

che, sviluppato il quadrato, potrà essere approssimato come segue

\((a^2+ x^2-2x\epsilon+\epsilon^2)^{-3/2} \approx (a^2+ x^2-2x\epsilon)^{-3/2}\)

grazie alla ipotesi (da verificare a posteriori) che la distanza $\epsilon$ (oltre ad essere molto piccola rispetto al raggio $a$) sia anche piccola rispetto all'ascissa $x$ del massimo (una ipotesi più che lecita vista la forte compensazione dei campi nell'intervallo centrale).
A questo punto, derivando la suddetta differenza rispetto ad $x$, avrai (quasi) istantaneamente la relazione del 3D linkato.