Campo magnetico in acceleratore

[Vblasina]

Salve a tutti, ho un dubbio sull'esercizio allegato che spero di chiarire mostrandovi la mia soluzione.

Innanzitutto considero un problema "diverso", ovvero quello di un cilindro con corrente di magnetizzazione superficiale \(\displaystyle \vec{K}_m=A \cos\phi \hat{z} \) e corrente di magnetizzazione interna \(\displaystyle \vec{J}_m=0 \). Questo implica \(\displaystyle \vec{M}\times \hat{r}=-M_{\phi}(r,\phi)\hat{z}=A\cos(\phi) \hat{z} \) e \(\displaystyle \nabla \times \vec{M}=0 \).

suppongo che il mio problema sia invariante per traslazioni lungo l'asse z, ovvero
\(\displaystyle M(z+dz)=M(z) \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial z}=0 \). Sfruttando questo fatto ottengo, imponendo che M abbia rotore nullo,
\(\displaystyle M_z=0 \) e \(\displaystyle \frac{\partial M_r}{\partial \phi}=-A\cos \phi \),
ovvero
\(\displaystyle \vec{M}=-A(\sin (\phi) \hat{r}+\cos (\phi) \hat{\phi})=-A\hat{y} \).
Il problema si riconduce dunque a quello del cilindro con magnetizzazione uniforme perpendicolare all'asse, che ha campo magnetico[nota]Questo risultato si può verificare in più modi, io sono passato dall'analogia formale col campo elettrico in assenza di cariche e correnti libere e ho considerato il cilindro polarizzato come sovrapposizione "parziale" di cilindri carichi[/nota]:

\(\displaystyle \vec{B}=\frac{\mu_0}{2}\vec{M}=-\frac{\mu_0}{2}A\hat{y} \).
Il mio dubbio a questo punto è: in che passaggio della dimostrazione diventa rilevante l'ipotesi \(\displaystyle r<

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Risposte

mgrau

6 dic 2020, 14:54

Cosa vorrebbe dire quel $delta(r- R)$ ?

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RenzoDF

6 dic 2020, 15:08

"sphyr":... io sono passato dall'analogia formale col campo elettrico in assenza di cariche e correnti libere e ho considerato il cilindro polarizzato come sovrapposizione "parziale" di cilindri carich ..

Non serve scomodare analogie formali, magnetizzazione e rotori, basta considerare la sovrapposizione di due cilindri conduttori con assi spostati di una certa distanza $d$ e con una pari densità $J$, uniforme ma opposta, per ottenere, semplicemente via "Biot Savart", che

$\vecB=-(\mu_0 Jd)/2 \haty$

ma solo se questo spostamento assiale $d$ è piccolo rispetto al loro raggio R, potremo vedere le due sezioni parziali non sovrapposte come una distribuzione di corrente puramente superficiale proporzionale la coseno dell'angolo $\phi$.

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Vblasina

6 dic 2020, 15:56

"mgrau":Cosa vorrebbe dire quel $delta(r- R)$ ?

E' una https://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac. Sta a indicare che la corrente non è davvero una corrente volumica ma è limitata alla superficie del cilindro.

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Vblasina

6 dic 2020, 16:13

"RenzoDF":
[...] ma solo se questo spostamento assiale $d$ è piccolo rispetto al loro raggio R, potremo vedere le due sezioni parziali non sovrapposte come una distribuzione di corrente puramente superficiale proporzionale al coseno dell'angolo $\phi$.

Sono d'accordo, ma perdonami: in che modo la distanza d è legata alla posizione \(\displaystyle r \) di un'eventuale particella nell'acceleratore? Semmai la condizione su d è una condizione sull'intensità della corrente...

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RenzoDF

6 dic 2020, 17:17

Certo, ma dal testo direi che $r$ non rappresenti la posizione radiale di una particella. Vista la sua presenza in quella delta di Dirac, direi che sta solo a significare che $int \delta(r-R)\ \text{d}r=1$ nell'intorno di $r=R$, ovvero sta ad indicare la natura impulsiva di $J(r,\phi)$.

La relazione determinata per il campo magnetico, è corretta per il campo nello spazio intersezione dei due cilindri, ovvero sotto la condizione che $d\lt R$ ma, per poter considerare questa densità di corrente (approssimativamente) localizzata sulla sola superficie di un (unico) cilindro) che di conseguenza permetta la sua discretizzazione (con ulteriore approssimazione) con un numero discreto di conduttori superficiali, d deve rispettare una condizione molto più restrittiva, ovvero \(d\ll R\).

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Vblasina

6 dic 2020, 17:56

Capito, ora è tutto chiaro. Grazie mille!

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RenzoDF

6 dic 2020, 18:11

Ora però i dubbi sono venuti a me, per quel \(r\ll R\).

... devo ripensarci con più calma.

PS Premesso che quella distribuzione cosinusoidale è già un'approssimazione dell'effetto della effettiva distribuzione della densità di corrente, non vorrei che quella condizione si riferisca anche alla discretizzazione della distribuzione continua via numero finito di N conduttori, che però non è considerata nel testo, anche se rappresentata nell'immagine.

PPS E' ovvio che andare poi ad indagare analiticamente del loro effetto sul campo interno al cilindro la vedo una vera impresa; molto più semplice sarebbe un'indagine via simulazione numerica agli elementi finiti che, se troverò il tempo (visto il DCPM ), potrei anche provare ad impostare prima della fine del mese.

Puoi dirmi da che testo è tratto questo problema?

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RenzoDF

6 dic 2020, 20:37

Tanto per cominciare controlliamo l'effettiva distribuzione del campo via spostamento assiale, che è la parte facile

Premesso che in questo caso la dimostrazione analitica è più che semplice, via somma dei due prodotti vettoriali fra vettori densità e vettori posizione

$\vec B=\mu_0/2( \vec J_1\times\vec r_1+\vec J_2\times\vec r_2)$,

giusto per verificare per via numerica, simuliamo con FEMM



facendo anche plottare a FEMM il campo sui due assi x e y (per sicurezza,)





Ok, fin qui ci siamo

... il difficile lasciamolo a dopo le Feste.

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Vblasina

7 dic 2020, 20:07

Mi complimento per l'interesse e per i grafici! In effetti è un bell'esercizio, l'ho preso da una prova d'ammissione del quarto anno alla SNS di qualche anno fa[nota]Sarebbe interessante se qualcuno li cercasse e catalogasse in un unico thread come fatto per le prove del primo anno [/nota].

La mia idea è che la condizione su \(\displaystyle r \) si manifesti in modo più "naturale" cercando di risolvere l'equazione per il potenziale vettore \(\displaystyle \nabla^2\vec{A}=-\mu_0 \vec{J} \). Ma penso che questo approccio lasci un po' il tempo che trova.
Ora come ora ho due ipotesi:
1)Come hai giustamente osservato tu, approssimare la corrente con un modello continuo semplice chiede implicitamente di trascurare gli effetti di bordo.
2) La formula per il campo di un cilindro magnetizzato è più insidiosa di quanto credessi ed è vera "all'ordine zero". Ma anche giustificare questa idea temo richieda calcoli abbastanza tediosi (che comunque proverò a fare in futuro).
Chissà....

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[mgrau]

Cosa vorrebbe dire quel $delta(r- R)$ ?

[RenzoDF]

"sphyr":... io sono passato dall'analogia formale col campo elettrico in assenza di cariche e correnti libere e ho considerato il cilindro polarizzato come sovrapposizione "parziale" di cilindri carich ..

Non serve scomodare analogie formali, magnetizzazione e rotori, basta considerare la sovrapposizione di due cilindri conduttori con assi spostati di una certa distanza $d$ e con una pari densità $J$, uniforme ma opposta, per ottenere, semplicemente via "Biot Savart", che

$\vecB=-(\mu_0 Jd)/2 \haty$

ma solo se questo spostamento assiale $d$ è piccolo rispetto al loro raggio R, potremo vedere le due sezioni parziali non sovrapposte come una distribuzione di corrente puramente superficiale proporzionale la coseno dell'angolo $\phi$.

[Vblasina]

"mgrau":Cosa vorrebbe dire quel $delta(r- R)$ ?

E' una https://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac. Sta a indicare che la corrente non è davvero una corrente volumica ma è limitata alla superficie del cilindro.

[Vblasina]

"RenzoDF":
[...] ma solo se questo spostamento assiale $d$ è piccolo rispetto al loro raggio R, potremo vedere le due sezioni parziali non sovrapposte come una distribuzione di corrente puramente superficiale proporzionale al coseno dell'angolo $\phi$.

Sono d'accordo, ma perdonami: in che modo la distanza d è legata alla posizione \(\displaystyle r \) di un'eventuale particella nell'acceleratore? Semmai la condizione su d è una condizione sull'intensità della corrente...

[RenzoDF]

Certo, ma dal testo direi che $r$ non rappresenti la posizione radiale di una particella. Vista la sua presenza in quella delta di Dirac, direi che sta solo a significare che $int \delta(r-R)\ \text{d}r=1$ nell'intorno di $r=R$, ovvero sta ad indicare la natura impulsiva di $J(r,\phi)$.

La relazione determinata per il campo magnetico, è corretta per il campo nello spazio intersezione dei due cilindri, ovvero sotto la condizione che $d\lt R$ ma, per poter considerare questa densità di corrente (approssimativamente) localizzata sulla sola superficie di un (unico) cilindro) che di conseguenza permetta la sua discretizzazione (con ulteriore approssimazione) con un numero discreto di conduttori superficiali, d deve rispettare una condizione molto più restrittiva, ovvero \(d\ll R\).

[Vblasina]

Capito, ora è tutto chiaro. Grazie mille!

[RenzoDF]

Ora però i dubbi sono venuti a me, per quel \(r\ll R\).

... devo ripensarci con più calma.

PS Premesso che quella distribuzione cosinusoidale è già un'approssimazione dell'effetto della effettiva distribuzione della densità di corrente, non vorrei che quella condizione si riferisca anche alla discretizzazione della distribuzione continua via numero finito di N conduttori, che però non è considerata nel testo, anche se rappresentata nell'immagine.

PPS E' ovvio che andare poi ad indagare analiticamente del loro effetto sul campo interno al cilindro la vedo una vera impresa; molto più semplice sarebbe un'indagine via simulazione numerica agli elementi finiti che, se troverò il tempo (visto il DCPM ), potrei anche provare ad impostare prima della fine del mese.

Puoi dirmi da che testo è tratto questo problema?

[RenzoDF]

Tanto per cominciare controlliamo l'effettiva distribuzione del campo via spostamento assiale, che è la parte facile

Premesso che in questo caso la dimostrazione analitica è più che semplice, via somma dei due prodotti vettoriali fra vettori densità e vettori posizione

$\vec B=\mu_0/2( \vec J_1\times\vec r_1+\vec J_2\times\vec r_2)$,

giusto per verificare per via numerica, simuliamo con FEMM



facendo anche plottare a FEMM il campo sui due assi x e y (per sicurezza,)





Ok, fin qui ci siamo

... il difficile lasciamolo a dopo le Feste.

[Vblasina]

Mi complimento per l'interesse e per i grafici! In effetti è un bell'esercizio, l'ho preso da una prova d'ammissione del quarto anno alla SNS di qualche anno fa[nota]Sarebbe interessante se qualcuno li cercasse e catalogasse in un unico thread come fatto per le prove del primo anno [/nota].

La mia idea è che la condizione su \(\displaystyle r \) si manifesti in modo più "naturale" cercando di risolvere l'equazione per il potenziale vettore \(\displaystyle \nabla^2\vec{A}=-\mu_0 \vec{J} \). Ma penso che questo approccio lasci un po' il tempo che trova.
Ora come ora ho due ipotesi:
1)Come hai giustamente osservato tu, approssimare la corrente con un modello continuo semplice chiede implicitamente di trascurare gli effetti di bordo.
2) La formula per il campo di un cilindro magnetizzato è più insidiosa di quanto credessi ed è vera "all'ordine zero". Ma anche giustificare questa idea temo richieda calcoli abbastanza tediosi (che comunque proverò a fare in futuro).
Chissà....