Campo magnetico generato dalla corrente

[beppe86]

Ciao ragazzi, non mi trovo con il risultato che riporta il mio libro (tanto per cambiare ) in questo esercizio.
Praticamente ho un anello sottile circolare di raggio $r$ e massa $M$ che ha una carica $Q$ distribuita in modo uniforme.
L'anello ruota intorno all'asse con una certa velocità angolare $omega$.

Nel primo punto mi veniva chiesto di calcolare la corrente e l'ho fatto mentre ora mi chiede di calcolare il campo magnetico da essa generato
Ho pensato di usare la legge di Biot-Savart avendo quindi $B=(mu0)/(4pi)*int(I*ds x r)/r^2$
Ora l'integrale sarebbe $int(I*ds*r*sen(90°))/r^2$ quindi $int(I*ds)/r$
Ora dovrei poter portare fuori $I/r$ in quanto costanti e risolvendo l'integrale ottengo $B=(mu0)/(4pi)*I/r*2pir$.

Dove sbaglio? sul libro si ha $B=(mu0*I)/(2r)$ e tra l'altro non capisco se omette i calcoli per giungere a questa conclusione oppure se è proprio una formula "standard" (ovviamente che deriva cmq dalla legge di Biot) e si può usare col "paraocchi"(come diceva la mia profe di matematica )

Grazie in anticipo

[raff5184]

immagino che il campo magnetico da calcolare sia in un punto lungo l'asse...Giusto?

Comunque non puoi usare biot savart, perché B-S è per un filo infinito rettilineo

[beppe86]

"raff5184":immagino che il campo magnetico da calcolare sia in un punto lungo l'asse...Giusto?

Comunque non puoi usare biot savart, perché B-S è per un filo infinito rettilineo

Bisogna calcolare il campo magnetico al centro dell'anello... Però non mi ritrovo con quello che dici su Biot, nel mio libro dice che permette di calcolare il campo magnetico di un qualsiasi punto nello spazione in funzione della corrente che lo genera e c'è più di un esercizio dove la legge di Biot viene applicata ad una spira.
Viene lasciato poi come esercizio di dimostrare quello che ho scritto sopra ma non mi viene .

[Maurizio Zani]

La legge di Biot-Savart si applica al caso di un filo infinito.

Per ricavare il campo magnetico creato da un anello percorso da corrente (o da un anello carico posto in rotazione, che è la stessa cosa) si utilizza la legge elementare di Laplace:

$dvecB=mu_0/(4pi)qv(vecu_Ixxvecu_r)/(r^2)$

Tale legge, che dà il valore del campo magnetico creato da un tratto infinitesimo di corrente, se integrata sulla spira porta al tuo risultato, se integrata su un filo infinito porta alla legge di Biot-Savart

[raff5184]

concordo con maurizio zani.Dalla formula che ti ha scritto lui, nel caso della spira r e dl sono ortogonoali per cui $vec (dl) x vec r = dl *1 * sin 90 = dl$

a questo punto hai ottenuto il campo generato da un elemento ds. Questo elemento di campo non sta tutto sull'asse, quindi devi prenderne solo la proiezione sull'asse:
$dB_(asse) = dB * cos theta$ se $theta$ è l'angolo tra l'asse e l'ementino di campo $dB$

$dB_(asse) = (mu_0 * I)/(4*pi * r^2) cos theta$
Il campo totale è:
$vec B = int_S ((mu_0 * I)/(4*pi * r^2) cos theta) = (mu_0 * I)/(4*pi * r^2) cos theta$ x(lunghezza della spira) $= (mu_0 * I)/(4*pi * r^2) cos theta (2 pi R) hat a$, con $R$= raggio e $hat a$=versore dell'asse e S=spira

Vabbè sono andato troppo avanti perché tu volevi il campo al centro e quindi è + semplice...

[raff5184]

ah ho capito dove sbagli! quando scrivi $int (l ds r sin90)/r^2$ semplifichi r del denominatore con quella al numeratore.

Ilk problema è che al numeratore non è $r$ ma $hat r$ cioè il versore di r che ha modulo unitario perchè è un versore. Invece al demìnominatore è modulo quadro di r che quindi misura $r^2$

Se vuoi il procedimento dell'esercizio dimmelo