Campo magnetico generato da una spira con forma particolare

[raissa95]

Salve ragazzi, ho un esercizio da farvi vedere e vi propongo la mia risoluzione su cui però non sono sicura, vorrei sapere da voi se ho fatto bene oppure no.

Ho questa spira formata dal percorso in nero:



Mi dice: essendo a conoscenza del fatto che il campo magnetico prodotto al centro di una spira circolare è uguale a $B=(uI)/(2R)$ con R, raggio della spira, calcolare il campo magnetico al centro della spira in figura sapendo che l'angolo alfa è uguale a 90° e poi mi dà i valori di a e b che sono i raggi delle due circonferenze che insieme mi formano la spira in nero.

Io ho pensato così: dato che precisa la formula del campo al centro di una spira circolare, probabilmente devo "manomettere" quella formula per arrivare al mio risultato ma la mia spira non ha un raggio univoco perchè non è una circonferenza ma posso scrivere il raggio come $r=sqrt(A/\(pi))$ con A superficie.
La formula quindi diventa: $B=(uI)/(2sqrt(A/(\pi))$
Ora devo quindi trovare la superficie della mia spira che è uguale a: 3/4 della superficie della circonferenza grande +1/4 della piccola (dato che l'angolo è di 90°). (Nella foto non sembra così ovvio perchè ho fatto il disegno con paint e non è precisissimo). Trovare le superfici è facile dato che ho entrambi i raggi.
Trovo la superficie della mia spira e la sostituisco nella formula trovata per trovare il campo magnetico.
Ho fatto così all'esame, spero di non aver fatto una cretinata.
Che ne dite?
Grazie mille

[RenzoDF]

Io direi che, visto che i due segmenti non contribuiscono al campo nel centro a causa della loro direzione radiale, bastava sommare i contributi delle due circonferenze parziali, ovvero 1/4 del campo prodotto da una spira di raggio b, con i 3/4 di una spira di raggio a,

$B=\frac {\mu_0I}{8}(3/a+1/b)$

[raissa95]

"RenzoDF":Io direi che, visto che i due segmenti non contribuiscono al campo nel centro a causa della loro direzione radiale, bastava sommare i contributi delle due circonferenze parziali, ovvero 1/4 del campo prodotto da una spira di raggio b, con i 3/4 di una spira di raggio a,

$B=\frac {\mu_0I}{8}(3/a+1/b)$

Ma non era la circuitazione del campo magnetico ad essere nulla lungo i tratti radiali?
Qui si parla di campo magnetico e i fili percorsi da corrente lo generano.
Sbaglio?

[RenzoDF]

"raissa10":... Ma non era la circuitazione del campo magnetico ad essere nulla lungo i tratti radiali?

Scusa ma cosa c'entra la circuitazione? I tratti radiali in questo caso sono conduttori percorsi da corrente, non tratti radiali del percorso di integrazione.

"raissa10":... Qui si parla di campo magnetico e i fili percorsi da corrente lo generano.

Certo, ma se ricordi la prima legge di Laplace, noterai che il prodotto vettoriale $\vec {dl} \times \vec r$ risulta nullo sui tratti radiali.

[raissa95]

Ah ecco... capisco.
E invece come ho fatto io è completamente sbagliato?

[RenzoDF]

"raissa10":... E invece come ho fatto io è completamente sbagliato?

Si, diciamo che tu hai usato una media pesata superficiale invece che lineare.