Campo magnetico di una sfera rotante
qualcuno si vuole cimentare con questo problema? l'ho trovato decisamente impegnativo e non so come proseguire
una sfera che porta una carica superficiale costante $sigma$ (rigidly attached) ruota con velocità angolare $vecomega=omega hatk$
mostrare che il campo magnetico prodotto è quello di un dipolo e trovare il momento di dipolo corrispondente.
inizio calcolando il potenziale vettore
$vecA(vecr)=mu/(4pi)int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) (sigma vecv) / |vecr-vecr'| dA' $ (le coordinate primate sono quelle della sfera $vecr' = (R,theta',phi') $, quelle non primate appartengono al punto generico nello spazio $vecr = (rho,theta,phi) $)
sviluppando in serie $|vecr-vecr'|^(-1)$ ho $1/rho^2 * (1+ (vecr * vecr')/rho^2 ) $
noto inoltre che $vecv = sigma omega R sin(theta') hat(e_phi)$
visto che siamo in coordinate sferiche l'infinitesimo di area è infine $dA'=R^2sin(theta') d theta' dphi'$
quindi $vecA(vecr)= (R sigma omega mu R^2)/(4pi rho) int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' (1 + (vecr * vecr')/rho^2 ) hat(e_phi) d theta' dphi' $
ossia $vecA(vecr)= K/rho [ int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' hate_phi) d theta ' dphi' + int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' (vecr * vecr')/rho^2 hat(e_phi) d theta' dphi' ]$
è facile verificare che il primo integrale è nullo: nessun termine di monopolo, bene
come faccio però a scrivere il momento di dipolo corrispondente? il secondo integrale mi sembra parecchio complicato da svolgere "per esteso".
forse c'era qualche altra strada da seguire?
insomma, devo trovare un $vecm$ tale che $vecA$ si possa scrivere come $vecA=mu/(4pi) (hatm wedge hatr) / r^2$, e non mi viene in mente nessuna trasformazione...
una sfera che porta una carica superficiale costante $sigma$ (rigidly attached) ruota con velocità angolare $vecomega=omega hatk$
mostrare che il campo magnetico prodotto è quello di un dipolo e trovare il momento di dipolo corrispondente.
inizio calcolando il potenziale vettore
$vecA(vecr)=mu/(4pi)int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) (sigma vecv) / |vecr-vecr'| dA' $ (le coordinate primate sono quelle della sfera $vecr' = (R,theta',phi') $, quelle non primate appartengono al punto generico nello spazio $vecr = (rho,theta,phi) $)
sviluppando in serie $|vecr-vecr'|^(-1)$ ho $1/rho^2 * (1+ (vecr * vecr')/rho^2 ) $
noto inoltre che $vecv = sigma omega R sin(theta') hat(e_phi)$
visto che siamo in coordinate sferiche l'infinitesimo di area è infine $dA'=R^2sin(theta') d theta' dphi'$
quindi $vecA(vecr)= (R sigma omega mu R^2)/(4pi rho) int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' (1 + (vecr * vecr')/rho^2 ) hat(e_phi) d theta' dphi' $
ossia $vecA(vecr)= K/rho [ int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' hate_phi) d theta ' dphi' + int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi) sin^2 theta' (vecr * vecr')/rho^2 hat(e_phi) d theta' dphi' ]$
è facile verificare che il primo integrale è nullo: nessun termine di monopolo, bene
come faccio però a scrivere il momento di dipolo corrispondente? il secondo integrale mi sembra parecchio complicato da svolgere "per esteso".
forse c'era qualche altra strada da seguire?
insomma, devo trovare un $vecm$ tale che $vecA$ si possa scrivere come $vecA=mu/(4pi) (hatm wedge hatr) / r^2$, e non mi viene in mente nessuna trasformazione...
Risposte
Io dividerei la sfera in anelli a theta costante, e considero ognuno di essi come una spira.
A questo punto la soluzione è la banale integrazione sulla sfera, ovvero su theta. Ogni anello ha un momento magnetico noto, di modulo Area*corrente, e i vettori sono chiaramente allineati, quindi la somma vettoriale è ovvia.
Vi risparmio i passaggi,e se non ho sbagliato i conti numericamente dovrebbe essere (prometto che domani guardo come si scrivono le formule:
2 (Pigreco)^2 sigma omega R^5 moltiplicato per l'integrale da 0 a Pigreco di senx^4 dx.
L'integrale a naso non mi viene, sono arrugginito in materia. Comunque è chiaramente un coefficiente.
Ovviamente il procedimento che segui tu è piu' rigoroso, il mio è un'approssimazione.
Ma considera che il momento di dipolo ha senso solo a distanze dalla sorgente >> dimensione propria della sorgente. Io qui trascuro proprio la dimensione della sfera lungo l'asse del momento magnetico.
O sbaglio qualcosa?
A questo punto la soluzione è la banale integrazione sulla sfera, ovvero su theta. Ogni anello ha un momento magnetico noto, di modulo Area*corrente, e i vettori sono chiaramente allineati, quindi la somma vettoriale è ovvia.
Vi risparmio i passaggi,e se non ho sbagliato i conti numericamente dovrebbe essere (prometto che domani guardo come si scrivono le formule:
2 (Pigreco)^2 sigma omega R^5 moltiplicato per l'integrale da 0 a Pigreco di senx^4 dx.
L'integrale a naso non mi viene, sono arrugginito in materia. Comunque è chiaramente un coefficiente.
Ovviamente il procedimento che segui tu è piu' rigoroso, il mio è un'approssimazione.
Ma considera che il momento di dipolo ha senso solo a distanze dalla sorgente >> dimensione propria della sorgente. Io qui trascuro proprio la dimensione della sfera lungo l'asse del momento magnetico.
O sbaglio qualcosa?
ok con il procedimento di suddividere la sfera in anelli con angolo di elevazione costanti. Ma alla fine il momento di dipolo presenterà un integrale di $cos^3theta$, provare per credere.
ciao wedge...
- prima di tutto, vorrei dire che l'espansione in serie che fai all'inizio è una approssimazione, e quindi non dimostra che il campo magnetico è quello di un dipolo, cmq il numero si dovrebbe trovare lo stesso... almeno spero per te
... del resto il procedimento per trovare la sol esatta è più o meno lo stesso, solo che ci sono altri integrali da calcolare... 
- mi pare che il versore che scrivi necessiti di una coordinata primata. controlla!
- ma l'ultimo integrale non riesci a svolgerlo per difficoltà di calcolo o perchè non sai farlo? io proverei a espandere il prodotto scalare e poi a calcolare tre integrali separatamente, ognuno per ogni componente del versore che stà là dentro. non mi pare impossibile... cmq (suggerimento da uno che conosce il risultato) ti consiglio caldamente di calcolare le 3 componenti dell'integrale su un SR t.c. il vettore $r$ giacca sul piano $y,z$ (e quindi riparametrizza le tue coordinate polari su questo sistema di riferimento)...
- prima di tutto, vorrei dire che l'espansione in serie che fai all'inizio è una approssimazione, e quindi non dimostra che il campo magnetico è quello di un dipolo, cmq il numero si dovrebbe trovare lo stesso... almeno spero per te
... del resto il procedimento per trovare la sol esatta è più o meno lo stesso, solo che ci sono altri integrali da calcolare... - mi pare che il versore che scrivi necessiti di una coordinata primata. controlla!
- ma l'ultimo integrale non riesci a svolgerlo per difficoltà di calcolo o perchè non sai farlo? io proverei a espandere il prodotto scalare e poi a calcolare tre integrali separatamente, ognuno per ogni componente del versore che stà là dentro. non mi pare impossibile... cmq (suggerimento da uno che conosce il risultato) ti consiglio caldamente di calcolare le 3 componenti dell'integrale su un SR t.c. il vettore $r$ giacca sul piano $y,z$ (e quindi riparametrizza le tue coordinate polari su questo sistema di riferimento)...
ciao e grazie a tutti 
@Pupe/luca
non sono ancora pienamente pratico dei momenti di dipolo
(la parte che li coinvolge pesantamente credo venga più avanti nel corso): in pratica trattate i vari $vecm = I S veck$ come vettori liberi? non ho assolutamente idea di come da due momenti dati si possa trovare un momento equivalente.
@ Thomas
1. si si lo so benissimo che uno sviluppo in serie è un'approssimazione. però basta a mostrare che non c'è nessun monopolo... avrei dovuto forse scrivere anche un'infinitesimo di ordine superiore e vedere cosa succede? se ci fosse un termine di quadrupolo, questo indicherebbe appunto solo e soltanto il limite della precisione utilizzata. sbaglio?
qual è il procedimento per trovare la soluzione esatta a cui ti riferisci?
2. hai ragione, mi sono dimenticato di scriverla e mi si perdoni se non lo farò ora
3. mi sembrava abbastanza lungo (e forse ieri non ero in vena di scrivere molto), sia sviluppando il prodotto scalare su una base i,j,k fissa, sia facendolo con la metrica sferica. in compenso la tua riparametrizzazione mi sembra un ottimo punto di partenza
più tardi riprendo in mano il problema alla luce dei vostri consigli
@Pupe/luca
non sono ancora pienamente pratico dei momenti di dipolo
(la parte che li coinvolge pesantamente credo venga più avanti nel corso): in pratica trattate i vari $vecm = I S veck$ come vettori liberi? non ho assolutamente idea di come da due momenti dati si possa trovare un momento equivalente.@ Thomas
1. si si lo so benissimo che uno sviluppo in serie è un'approssimazione. però basta a mostrare che non c'è nessun monopolo... avrei dovuto forse scrivere anche un'infinitesimo di ordine superiore e vedere cosa succede? se ci fosse un termine di quadrupolo, questo indicherebbe appunto solo e soltanto il limite della precisione utilizzata. sbaglio?
qual è il procedimento per trovare la soluzione esatta a cui ti riferisci?
2. hai ragione, mi sono dimenticato di scriverla e mi si perdoni se non lo farò ora
3. mi sembrava abbastanza lungo (e forse ieri non ero in vena di scrivere molto), sia sviluppando il prodotto scalare su una base i,j,k fissa, sia facendolo con la metrica sferica. in compenso la tua riparametrizzazione mi sembra un ottimo punto di partenza
più tardi riprendo in mano il problema alla luce dei vostri consigli
Se indichi con $di$ la corrente infinitesima che scorre in una spira equivalente, allora il momento magnetico associato alla spira equiv. è:
$vec(dm)=pir^2divec(u_z)$
con $vec(u_z)$ versore diretto come l'asse di rotazione e verso opportuno. Il momento magnetico totale $vecm$ allora sarà
$vec(m)=int_(Sigma)vec(dm)$
dove $Sigma$ è la sfera
$vec(dm)=pir^2divec(u_z)$
con $vec(u_z)$ versore diretto come l'asse di rotazione e verso opportuno. Il momento magnetico totale $vecm$ allora sarà
$vec(m)=int_(Sigma)vec(dm)$
dove $Sigma$ è la sfera
Esatto, è quello che ho fatto io.
E il valore che trovo è quello scritto 3 messaggi sopra. A meno di miei errori di calcolo.
Semmai dopo lo ricontrollo. A te viene diverso?
E il valore che trovo è quello scritto 3 messaggi sopra. A meno di miei errori di calcolo.
Semmai dopo lo ricontrollo. A te viene diverso?
l'ultimo integrale che ho scritto è stato $int_0^(pi/2) cos^3theta*d\theta$, non scrivo altro altrimenti rovino la sorpresa a wedge
Allora trascrivo il conto che avevo fatto io, il cui risultato ho postato 4 o 5 messaggi fa, cosi' mi esercito con la scrittura delle formule nel forum.
Scusate se sbaglio a scriverle, semmai le correggo.
Detto R raggio della sfera
divido in anelli infinitesimi di area:
$A=pi*R^2sin^2theta$
ognuno percorso da corrente
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
i due termini in parentesi sono velocità tangenziale e elemento d'area infinitesimo.
Integrando
$4*pi^2*sigma*omega*R^5*int_0^(pi/2) sin^4(theta)*d\theta$
e quindi mi salta fuori l'integrale di $sin^4(theta)$ e non di $cos^3(theta)$
Sbaglio?
Scusate se sbaglio a scriverle, semmai le correggo.
Detto R raggio della sfera
divido in anelli infinitesimi di area:
$A=pi*R^2sin^2theta$
ognuno percorso da corrente
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
i due termini in parentesi sono velocità tangenziale e elemento d'area infinitesimo.
Integrando
$4*pi^2*sigma*omega*R^5*int_0^(pi/2) sin^4(theta)*d\theta$
e quindi mi salta fuori l'integrale di $sin^4(theta)$ e non di $cos^3(theta)$
Sbaglio?
Ti ricordo che $di=(omega*dq)/(2pi)$
dove $dq$ è la carica infinitesima depositata su una delle spire equivalenti.
dove $dq$ è la carica infinitesima depositata su una delle spire equivalenti.
cosa rappresenta omega?
$omega$ è il modulo della velocità angolare della sfera.
Scusa luca, ma tu dici
$di=(omega*dq)/(2pi)$
e io ho scritto:
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
ma le due scritture sono quasi equivalenti, a parte il fatto che nella tua consideri la velocità angolare e non quella tangenziale delle cariche (sbagliando).
Infatti la mia espressione è pari a:
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
il termine nelle prime parentesi è la velocità tangenziale, tutto il resto è dq di un elemento di superficie infinitesimo.
Integrando poi in $dphi$ trovo la carica sulla spira infinitesima (quel $2*pi$ che hai al denominatore). Poi moltiplico per l'area della spira in questione, che dipende ovviamente da $theta$, e quindi integro in $theta$.
Sono del parere che la mia soluzione sia esatta.
Scusa luca, ma tu dici
$di=(omega*dq)/(2pi)$
e io ho scritto:
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
ma le due scritture sono quasi equivalenti, a parte il fatto che nella tua consideri la velocità angolare e non quella tangenziale delle cariche (sbagliando).
Infatti la mia espressione è pari a:
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
il termine nelle prime parentesi è la velocità tangenziale, tutto il resto è dq di un elemento di superficie infinitesimo.
Integrando poi in $dphi$ trovo la carica sulla spira infinitesima (quel $2*pi$ che hai al denominatore). Poi moltiplico per l'area della spira in questione, che dipende ovviamente da $theta$, e quindi integro in $theta$.
Sono del parere che la mia soluzione sia esatta.
".Pupe.":
consideri la velocità angolare e non quella tangenziale delle cariche (sbagliando).
Sono più che sicuro, certo, che bisogna considerare la velocità angolare della sfera. Altrimenti quello che c'è scritto sul mio vecchio libro ed eserciziario è completamente errato.
Ops, ok ora mi torna.
errore nel mio conto.
Quello che sbagliavo è che mescolavo 2 ragionamenti.
O considero la velocità tangenziale (primo termine in parentesi) e la dimensione spaziale perpendicolare alla velocità (secondo):
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(Rd\theta*d\phi)$
oppure la velocità angolare e l'elemento d'area:
$di=sigma*(omega)*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
Io mescolavo le due cose e mi saltava fuori un $R*sin(theta)$ di troppo.
D'altra parte potevo fare un controllo dimensionale e non l'ho fatto. Ok, ora ci siamo dato che a te viene un termine
$int_0^(pi/2) cos^3(theta) d\theta$
e a me
$int_0^(pi/2) sin^3(theta) d\theta$
chiaramente equivalenti, dato che cambia solo l'angolo considerato.
Sei d'accordo?
errore nel mio conto.
Quello che sbagliavo è che mescolavo 2 ragionamenti.
O considero la velocità tangenziale (primo termine in parentesi) e la dimensione spaziale perpendicolare alla velocità (secondo):
$di=sigma*(omega*R*sin(theta))*(Rd\theta*d\phi)$
oppure la velocità angolare e l'elemento d'area:
$di=sigma*(omega)*(R^2*sin(theta)*d\theta*d\phi)$
Io mescolavo le due cose e mi saltava fuori un $R*sin(theta)$ di troppo.
D'altra parte potevo fare un controllo dimensionale e non l'ho fatto. Ok, ora ci siamo dato che a te viene un termine
$int_0^(pi/2) cos^3(theta) d\theta$
e a me
$int_0^(pi/2) sin^3(theta) d\theta$
chiaramente equivalenti, dato che cambia solo l'angolo considerato.
Sei d'accordo?
ok
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