Campo magnetico di un disco carico in rotazione
Come richiesto da un mio studente:
ponendo una carica $q$ uniformemente su un disco di raggio $R$, e facendolo ruotare con una velocità angolare $omega$ attorno al suo asse, il campo magnetico creato dal disco lungo il suo asse è:
$B=mu_0/2(qomega)/(piR^2)int_0^Rr^3/(x^2+r^2)^(3/2)dr=...$
ponendo una carica $q$ uniformemente su un disco di raggio $R$, e facendolo ruotare con una velocità angolare $omega$ attorno al suo asse, il campo magnetico creato dal disco lungo il suo asse è:
$B=mu_0/2(qomega)/(piR^2)int_0^Rr^3/(x^2+r^2)^(3/2)dr=...$
Risposte
Grazie Piera... ma ho già la soluzione; volevo postarlo come esercizio da risolvere
Posso sbagliare, ma a me sembra che il campo in questione sia in effetti così:
$B=(mu_o *omega*q*x)/(2piR^2)int_0^R(r^2)/((r^2+x^2)^(3/2))dr$
Esso puo' essere calcolato con la posizione $r=x*sinht$
A calcoli fatti [lunghetti ,a dire il vero] si trova il seguente risultato:
$B=(mu_o* omega*q*x)/(2piR^2)*[ln((R+sqrt(R^2+x^2))/x)-R/(sqrt(R^2+x^2) ]] $
karl
$B=(mu_o *omega*q*x)/(2piR^2)int_0^R(r^2)/((r^2+x^2)^(3/2))dr$
Esso puo' essere calcolato con la posizione $r=x*sinht$
A calcoli fatti [lunghetti ,a dire il vero] si trova il seguente risultato:
$B=(mu_o* omega*q*x)/(2piR^2)*[ln((R+sqrt(R^2+x^2))/x)-R/(sqrt(R^2+x^2) ]] $
karl
"karl":
Posso sbagliare, ma a me sembra che il campo in questione sia in effetti così:
$B=(mu_o *omega*q*x)/(2piR^2)int_0^R(r^2)/((r^2+x^2)^(3/2))dr$
Esso puo' essere calcolato con la posizione $r=x*sinht$
A calcoli fatti [lunghetti ,a dire il vero] si trova il seguente risultato:
$B=(mu_o* omega*q*x)/(2piR^2)*[ln((R+sqrt(R^2+x^2))/x)-R/(sqrt(R^2+x^2) ]] $
karl
Sarebbe interessante vedere come l'hai ricavata
Ho provato anche io, e mi ritrovo con il primo risultato postato. Scomponendo il disco in anelli
concentrici e volendo trovare la carica $dQ$ su ciascuno di essi, si può procedere così: $sigma=(dQ)/(dSigma)=Q/(piR^2)$,
da cui $dQ=(2Qr dr)/R^2$. La corrente infinitesima generata da un anello è $di=(dQ)/T=((2Qr dr)/R^2)/((2pi)/omega)=(omegaQrdr)/(piR^2)$.
Ogni anello genera un campo magnetico nel punto a distanza $x$ dal centro del disco di modulo
$dB=(mu_0 (omegaQrdr)/(piR^2)r^2)/(2(x^2+r^2)^(3/2))=(mu_0omegaQr^3dr)/(2piR^2(x^2+r^2)^(3/2))$, perciò il campo totale $B(x)=(mu_0omegaQ)/(2piR^2)int_0^R (r^3)/((x^2+r^2)^(3/2))dr$
$=(mu_0omegaQ)/(2piR^2)((2x^2 + R^2)/sqrt(x^2 + R^2) - 2x)$. Ovviamente anche io potrei sbagliare.
concentrici e volendo trovare la carica $dQ$ su ciascuno di essi, si può procedere così: $sigma=(dQ)/(dSigma)=Q/(piR^2)$,
da cui $dQ=(2Qr dr)/R^2$. La corrente infinitesima generata da un anello è $di=(dQ)/T=((2Qr dr)/R^2)/((2pi)/omega)=(omegaQrdr)/(piR^2)$.
Ogni anello genera un campo magnetico nel punto a distanza $x$ dal centro del disco di modulo
$dB=(mu_0 (omegaQrdr)/(piR^2)r^2)/(2(x^2+r^2)^(3/2))=(mu_0omegaQr^3dr)/(2piR^2(x^2+r^2)^(3/2))$, perciò il campo totale $B(x)=(mu_0omegaQ)/(2piR^2)int_0^R (r^3)/((x^2+r^2)^(3/2))dr$
$=(mu_0omegaQ)/(2piR^2)((2x^2 + R^2)/sqrt(x^2 + R^2) - 2x)$. Ovviamente anche io potrei sbagliare.
Avete ragione.Ho seguito pure io il procedimento di Elgiovo ma
nel calcolare le componenti verticali del campo ( quelle orizzontali
si elidono per simmetria) ho moltiplicato per $cos theta=x/(sqrt(r^2+x^2))$
invece che per $sin theta =r/(sqrt(r^2+x^2))$.
Da qui l'errore.Mi scuso
karl
nel calcolare le componenti verticali del campo ( quelle orizzontali
si elidono per simmetria) ho moltiplicato per $cos theta=x/(sqrt(r^2+x^2))$
invece che per $sin theta =r/(sqrt(r^2+x^2))$.
Da qui l'errore.Mi scuso
karl
Nessun problema, così siamo più certi tutti quanti
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