Campo magnetico di un cilindro dielettrico
Salve a tutti,
questo problema apparentemente semplice mi sta dando del filo da torcere:
Si consideri un tubo cilindrico dielettrico di raggio $R=10 cm$ e lunghezza $L$ molto maggiore di $R$, sulla cui superficie laterale viene depositata una densità di carica superficiale $\sigma = 0.5 C/m^2$. Il cilindro ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\omega=10 (rad)/s$. Si calcoli il campo magnetico $\vecB$ (modulo, direzione, verso) all’interno del cilindro, trascurando gli effetti di bordo.
Inizialmente mi sono concentrato sulla quarta equazione di Maxwell:
$rot \vecB = \mu_0 (\vec j_{cond} + \vec j_m + \vec j_{spost})$
tuttavia all'interno del cilindro non ho:
1) correnti di conduzione perché non ci sono cariche libere
2) correnti di magnetizzazione perché il campo magnetico esterno è nullo
3) correnti di spostamento perché non ho un campo elettrico variabile nel tempo
quindi l'unico metodo di risoluzione che mi è venuto in mente è applicare la I legge di Laplace secondo cui
$d \vecB(r)=\mu_0/(4\pi) (i d\vec{l} \wedge \vec{u_r})/r^2$
ma non sembra molto agevole. Esiste per caso un altro modo?
questo problema apparentemente semplice mi sta dando del filo da torcere:
Si consideri un tubo cilindrico dielettrico di raggio $R=10 cm$ e lunghezza $L$ molto maggiore di $R$, sulla cui superficie laterale viene depositata una densità di carica superficiale $\sigma = 0.5 C/m^2$. Il cilindro ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\omega=10 (rad)/s$. Si calcoli il campo magnetico $\vecB$ (modulo, direzione, verso) all’interno del cilindro, trascurando gli effetti di bordo.
Inizialmente mi sono concentrato sulla quarta equazione di Maxwell:
$rot \vecB = \mu_0 (\vec j_{cond} + \vec j_m + \vec j_{spost})$
tuttavia all'interno del cilindro non ho:
1) correnti di conduzione perché non ci sono cariche libere
2) correnti di magnetizzazione perché il campo magnetico esterno è nullo
3) correnti di spostamento perché non ho un campo elettrico variabile nel tempo
quindi l'unico metodo di risoluzione che mi è venuto in mente è applicare la I legge di Laplace secondo cui
$d \vecB(r)=\mu_0/(4\pi) (i d\vec{l} \wedge \vec{u_r})/r^2$
ma non sembra molto agevole. Esiste per caso un altro modo?
Risposte
Considera che la carica superficiale che gira può essere vista come una corrente e quindi il tutto è assimilabile a un solenoide ...
Ciao, grazie del suggerimento. C'è ancora un concetto che non mi è chiaro.
Sapendo che il campo magnetico di un solenoide è $B = \mu_0 n i$,
ho calcolato la corrente come $i = q/T = (\sigma 2 \pi RL)/((2 \pi) / \omega) = \sigma RL \omega$.
Sapendo che la densità di spire è $n = N/L$, ottengo $B = \mu_0 N/L \sigma RL \omega = \mu_0 N \sigma R \omega$.
Quindi $B$ mi viene infinito poiché il solenoide si può "vedere" come un solenoide in cui $N \rightarrow +\infty$
Sapendo che il campo magnetico di un solenoide è $B = \mu_0 n i$,
ho calcolato la corrente come $i = q/T = (\sigma 2 \pi RL)/((2 \pi) / \omega) = \sigma RL \omega$.
Sapendo che la densità di spire è $n = N/L$, ottengo $B = \mu_0 N/L \sigma RL \omega = \mu_0 N \sigma R \omega$.
Quindi $B$ mi viene infinito poiché il solenoide si può "vedere" come un solenoide in cui $N \rightarrow +\infty$
Se uso il T. di Ampere in un percorso costituito da un rettangolo con un lato L interno e l'altro all'esterno e gli altri due lati perpendicolari, avremo:
$H*L = (2*pi*R*L*sigma)/((2*pi)/omega)=R*L*sigma*omega$ e quindi $H=sigma*R*omega$
$B = mu_0*H = mu_0 *sigma*R*omega$
il che si può interpretare sia ammettendo semplicemente che N=1, oppure osservando che Ni/L è la densità di corrente per unità di lunghezza che nel nostro caso, preso un tratto $Delta x$
$Delta i = (2*pi*R*Delta x*sigma)/((2*pi)/omega)$ da cui
$(Delta i)/(Delta x) = R*sigma*omega$
e quindi sostituendo nella formula del solenoide si riottiene il risultato sopra.
$H*L = (2*pi*R*L*sigma)/((2*pi)/omega)=R*L*sigma*omega$ e quindi $H=sigma*R*omega$
$B = mu_0*H = mu_0 *sigma*R*omega$
il che si può interpretare sia ammettendo semplicemente che N=1, oppure osservando che Ni/L è la densità di corrente per unità di lunghezza che nel nostro caso, preso un tratto $Delta x$
$Delta i = (2*pi*R*Delta x*sigma)/((2*pi)/omega)$ da cui
$(Delta i)/(Delta x) = R*sigma*omega$
e quindi sostituendo nella formula del solenoide si riottiene il risultato sopra.
Ora ho capito, grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo