Campo Magnetico concatenato con circuito - corrente variabile
Ciao, ho il seguente problema.
Un filo conduttore rettilineo di lunghezza infinita e sezione trascurabile, immerso nel vuoto, è percorso da corrente elettrica che decresce nel tempo fino ad annullarsi con legge $I(t) = I_0 - kt $. Si consideri un circuito rettangolare parallelo al filo, contenuto in un piano a cui appartiene il filo e collocata a distanza $r_0$ da esso. Si valuti il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito per un istante di tempo generico compreso tra 0 e il momento in cui il campo magnetico si annulla.
Siano: $I_0 = 1,5 A$, $k = 0,1 A/s$, $ r_0 = 2 cm $, $a = 4 cm$, $b = 10 cm$
Come ho pensato di risolverlo:
Innanzitutto osservo che il momento in cui il campo magnetico si annulla è proprio il momento in cui la corrente che percorre il filo infinito è zero. Ovvero, dopo qualche calcolo si ottiene $t = 15 s$.
Il flusso da calcolare è:
$phi(B) = int B * Sigma$, dove $Sigma$ è una qualunque superficie che contiene il circuito.
Prima di affrontare questo integrale, valuto il campo magnetico B, generato dal filo rettilineo, che è variabile con il tempo. Uso Biot - Savart (che si deriva dalla prima legge elementare di Laplace)
$B = int (mu_0 i(t)) /( 2 pi r_0) dt$, ovvero $B = (mu_0)/(2 pi r_0) int (i(t)) dt$ con estremi di integrazione $0$ e $15$.
Calcolando l'integrale si ottiene che $B = (mu_0)/(2 pi r_0) [I_0 * 15 - (k * 15^2)/2]$
Domanda: secondo voi fin qui è giusto?
Nel caso lo sia, come calcolo l'integrale del flusso? Se B fosse uniforme, potrei toglierlo dal segno di integrale, quindi verrebbe B * Area della Spira. In questo caso come si farebbe?
Grazie
Un filo conduttore rettilineo di lunghezza infinita e sezione trascurabile, immerso nel vuoto, è percorso da corrente elettrica che decresce nel tempo fino ad annullarsi con legge $I(t) = I_0 - kt $. Si consideri un circuito rettangolare parallelo al filo, contenuto in un piano a cui appartiene il filo e collocata a distanza $r_0$ da esso. Si valuti il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito per un istante di tempo generico compreso tra 0 e il momento in cui il campo magnetico si annulla.
Siano: $I_0 = 1,5 A$, $k = 0,1 A/s$, $ r_0 = 2 cm $, $a = 4 cm$, $b = 10 cm$
Come ho pensato di risolverlo:
Innanzitutto osservo che il momento in cui il campo magnetico si annulla è proprio il momento in cui la corrente che percorre il filo infinito è zero. Ovvero, dopo qualche calcolo si ottiene $t = 15 s$.
Il flusso da calcolare è:
$phi(B) = int B * Sigma$, dove $Sigma$ è una qualunque superficie che contiene il circuito.
Prima di affrontare questo integrale, valuto il campo magnetico B, generato dal filo rettilineo, che è variabile con il tempo. Uso Biot - Savart (che si deriva dalla prima legge elementare di Laplace)
$B = int (mu_0 i(t)) /( 2 pi r_0) dt$, ovvero $B = (mu_0)/(2 pi r_0) int (i(t)) dt$ con estremi di integrazione $0$ e $15$.
Calcolando l'integrale si ottiene che $B = (mu_0)/(2 pi r_0) [I_0 * 15 - (k * 15^2)/2]$
Domanda: secondo voi fin qui è giusto?
Nel caso lo sia, come calcolo l'integrale del flusso? Se B fosse uniforme, potrei toglierlo dal segno di integrale, quindi verrebbe B * Area della Spira. In questo caso come si farebbe?
Grazie
Risposte
Nessuno riesce ad aiutarmi?
"AAnto":
... Domanda: secondo voi fin qui è giusto?
Direi proprio di no, come puoi avere un campo magnetico costante in presenza di una corrente variabile nel tempo?
Lo puoi vedere anche dimensionalmente che quella relazione per B non è di certo corretta.
Potresti aiutarmi a capire come fare. Non sto riuscendo.
Ma parchè fai un integrale sul TEMPO? Il tempo è fisso, è un istante generico fra 0 e 15s, e il campo in un dato istante $t$ vale $B = (mu_0 i(t)) /( 2 pi r)$
L'integrale va fatto su $dr$ e ti serve perchè il campo B non è uniforme sulla spira, varia con la distanza dal filo come $1/r$, i limiti di integrazione sono $r_0$ e $r_0 + a$, se $a$ è la lunghezza del lato della spira perpendicolare al filo.
Alla fine, $Phi = (mu_0i(t)*b)/(2pi) int_(r_0)^(r_0+a)1/r dr$
L'integrale va fatto su $dr$ e ti serve perchè il campo B non è uniforme sulla spira, varia con la distanza dal filo come $1/r$, i limiti di integrazione sono $r_0$ e $r_0 + a$, se $a$ è la lunghezza del lato della spira perpendicolare al filo.
Alla fine, $Phi = (mu_0i(t)*b)/(2pi) int_(r_0)^(r_0+a)1/r dr$
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