Campo in un cavo coassiale
Un cavo coassiale ad alta tensione ha il conduttore interno di raggio $R_1$ incognito e il conduttore esterno di raggio $R_2$ e spessore trascurabile. La tensione applicata al cavo è \(\displaystyle \Delta V \) con \(\displaystyle V(R_2)=0 \). Determinare:
(a) Il valore del raggio $R_1$ del conduttore interno che minimizza il valore del campo elettrico sulla superficie del conduttore interno.
Allora, il fatto che \(\displaystyle V(R_2)=0 \) implica che \(\displaystyle \Delta V=V(R_1) \), o sbaglio? La tensione è applicata tra le due "armature" del condensatore che sarebbe il cavo. Il campo elettrico sulla superficie del condensatore interno è \(\displaystyle E=\sigma/\epsilon_0 \), diretto come il raggio. Quindi posso calcolare: \[V(R_1)-V(R_2)=V(R_1)=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma}{\epsilon_0}dr=\frac{\sigma}{\epsilon_0}(R_2-R_1), \ \Rightarrow \sigma=\frac{\Delta V\epsilon_0}{R_2-R_1}.\] Il problema è che ora non so come ricavare il campo, o almeno, dividendo per \(\displaystyle \epsilon_0 \) e derivando esce un risultato assurdo. In effetti in fin dei conti ho due equazioni in tre incognite, il raggio, la carica, e il campo.... come ne esco?
(a) Il valore del raggio $R_1$ del conduttore interno che minimizza il valore del campo elettrico sulla superficie del conduttore interno.
Allora, il fatto che \(\displaystyle V(R_2)=0 \) implica che \(\displaystyle \Delta V=V(R_1) \), o sbaglio? La tensione è applicata tra le due "armature" del condensatore che sarebbe il cavo. Il campo elettrico sulla superficie del condensatore interno è \(\displaystyle E=\sigma/\epsilon_0 \), diretto come il raggio. Quindi posso calcolare: \[V(R_1)-V(R_2)=V(R_1)=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma}{\epsilon_0}dr=\frac{\sigma}{\epsilon_0}(R_2-R_1), \ \Rightarrow \sigma=\frac{\Delta V\epsilon_0}{R_2-R_1}.\] Il problema è che ora non so come ricavare il campo, o almeno, dividendo per \(\displaystyle \epsilon_0 \) e derivando esce un risultato assurdo. In effetti in fin dei conti ho due equazioni in tre incognite, il raggio, la carica, e il campo.... come ne esco?
Risposte
Nell'integrale devi usare il campo E(r) relativo al generico raggio r, non quello alla superficie del conduttore interno, e invece di usare $\sigma$, potevi semplicemente ricordare che \(E(r)/E(R_1)= R_1/r\).
Vero, hai ragione, ma da dove hai ricavato quella espressione? 
Da Gauss. 
Usando Gauss non viene qualcosa come \(\displaystyle E(r)/E(R_1)=(R_1/r)^2 \)?
Scusa, ma quale superficie consideri?
No hai perfettamente ragione te... ho messo un quadrato inesistente 
comunque allora da qua il resto è facile... grazie!
comunque allora da qua il resto è facile... grazie!
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