Campo gravitazionale all'interno di una sfera non omogenea
Buonasera a tutti,
è il mio primo intervento e volevo chiedervi un aiuto su un esercizio preso dall'Halliday-Resnick-Walker 8ed in merito a quanto nel titolo.
Sostanzialmente il quesito è il seguente: data una sfera non omogenea ma con densità che varia con simmetricità sferica, dimostrare che in qualsiasi punto interno alla sfera il campo gravitazionale aumenta coll'aumentare del raggio solo se la densità in quel punto è pari ad almeno i 2/3 (due terzi) della densità media della sfera "sottostante" (interna rispetto a quel punto).
Ho provato in diversi in modi ma non riesco a cavare un ragno dal buco; credo mi manchi proprio il punto di partenza.
Ho fatto diverse simulazioni con Excel ed in effetti la "cosa" funziona
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
Cordialmente, Alex
è il mio primo intervento e volevo chiedervi un aiuto su un esercizio preso dall'Halliday-Resnick-Walker 8ed in merito a quanto nel titolo.
Sostanzialmente il quesito è il seguente: data una sfera non omogenea ma con densità che varia con simmetricità sferica, dimostrare che in qualsiasi punto interno alla sfera il campo gravitazionale aumenta coll'aumentare del raggio solo se la densità in quel punto è pari ad almeno i 2/3 (due terzi) della densità media della sfera "sottostante" (interna rispetto a quel punto).
Ho provato in diversi in modi ma non riesco a cavare un ragno dal buco; credo mi manchi proprio il punto di partenza.
Ho fatto diverse simulazioni con Excel ed in effetti la "cosa" funziona
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
Cordialmente, Alex
Risposte
Forse ci sono arrivato ...
Nel punto interno considerato il campo ha valore (assoluto) $G*(Mi) / (r^2)$ dove $Mi$ è la massa della sfera interna/sottostante al punto considerato e $r$ il raggio della medesima (cioè il punto in cui siamo).
Allontanandoci da questo punto verso l'esterno, il raggio aumenta e il valore del campo dovuto a questa massa interna diminuisce. Infatti la derivata è $-2*G*(Mi)/(r^3)$.
Supponiamo di allontanarci di una distanza infinitesimale $dr$; se moltiplichiamo la derivata per $dr$ otteniamo il valore della diminuzione del campo gravitazionale e cioè $-2*G*(Mi)*(dr)/(r^3)$; scomponiamo la massa è otteniamo $-2*G*(rho_i)*((4/3)*(pi)*(R^3))*(dr)/(r^3)$, dove $rho_i$ è la densità media della sfera interna, $pi$ è pigreco, $R$ è il raggio della sfera interna. Dato che i due raggi in quel punto coincidono possiamo eliminarli e quindi abbiamo $-2*G*rho_i*(4/3)*pi*(dr)$.
Affinchè il campo non diminuisca per l'aumento del raggio questa quantita deve essere compensata dal campo generata dalla "nuova massa" dovuta allo spostamento $dr$; il volume di questa "nuova massa" o meglio "guscio sferico" sarà pari a $4*(pi)*(r^2)*(dr)$ e la relativa massa sarà $4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)$, dove $rho$ è la densita del punto in questione; Il valore del campo dovuto a questo guscio sferico sarà pari a $G*4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)/(r^2)$.
Uguagliamo le due espressioni ==> $G*4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)/(r^2) = 2*G*(rho_i)*(4/3)*(pi)*(dr)$ e semplifichiamo $[rho=2*rho_i/3]$. Effettivamente perchè il valore del campo aumenti $rho$ deve essere maggiore dei due terzi di $rho_i$.
Cortdialmente, Alex
Nel punto interno considerato il campo ha valore (assoluto) $G*(Mi) / (r^2)$ dove $Mi$ è la massa della sfera interna/sottostante al punto considerato e $r$ il raggio della medesima (cioè il punto in cui siamo).
Allontanandoci da questo punto verso l'esterno, il raggio aumenta e il valore del campo dovuto a questa massa interna diminuisce. Infatti la derivata è $-2*G*(Mi)/(r^3)$.
Supponiamo di allontanarci di una distanza infinitesimale $dr$; se moltiplichiamo la derivata per $dr$ otteniamo il valore della diminuzione del campo gravitazionale e cioè $-2*G*(Mi)*(dr)/(r^3)$; scomponiamo la massa è otteniamo $-2*G*(rho_i)*((4/3)*(pi)*(R^3))*(dr)/(r^3)$, dove $rho_i$ è la densità media della sfera interna, $pi$ è pigreco, $R$ è il raggio della sfera interna. Dato che i due raggi in quel punto coincidono possiamo eliminarli e quindi abbiamo $-2*G*rho_i*(4/3)*pi*(dr)$.
Affinchè il campo non diminuisca per l'aumento del raggio questa quantita deve essere compensata dal campo generata dalla "nuova massa" dovuta allo spostamento $dr$; il volume di questa "nuova massa" o meglio "guscio sferico" sarà pari a $4*(pi)*(r^2)*(dr)$ e la relativa massa sarà $4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)$, dove $rho$ è la densita del punto in questione; Il valore del campo dovuto a questo guscio sferico sarà pari a $G*4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)/(r^2)$.
Uguagliamo le due espressioni ==> $G*4*(pi)*(r^2)*(dr)*(rho)/(r^2) = 2*G*(rho_i)*(4/3)*(pi)*(dr)$ e semplifichiamo $[rho=2*rho_i/3]$. Effettivamente perchè il valore del campo aumenti $rho$ deve essere maggiore dei due terzi di $rho_i$.
Cortdialmente, Alex
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