Campo generato da una sfera carica non uniformemente [RISOLTO]
Ciao a tutti, ecco il problema:
Nel volume compreso tra due superfici sferiche concentriche di raggio $R_1$ e $R_2$ (con $R_1 < R_2$) è distribuita una carica elettrica positiva con densità non uniforme $ρ = c/r$, c = costante. Al centro del sistema (r = 0) è posta una carica puntiforme positiva q. Determinare:
a) L’espressione del campo elettrostatico in funzione della distanza r dal centro del sistema;
b) La costante c affinché nella regione $R_1 ≤ r ≤ R_2$ il campo elettrostatico sia uniforme.
dal primo punto mi viene che il campo per $R_1 ≤ r ≤ R_2$ vale $E=q/(4pi epsilon_0 r^2) + c(r^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2)$. Quale condizione equivale a dire che il campo sia uniforme? In pratica, come risolvo il secondo punto?
Ho provato a derivare rispetto ad r per poi trovare il c che annulla la derivata, ma così facendo c dipenderebbe da r...
ho svolto così il primo punto, qualora voleste controllare:
all'interno della sfera di raggio R1 il campo dovuto alla distribuzione di carica è nullo per ragioni di simmetria, pertanto c'è solo il campo della carica q, che vale $E_q = q/(4 \pi \epsilon_0 r^2)$
tra le due sfere, cioè quando $R_1 ≤ r ≤ R_2$, La carica contenuta nella sfera di raggio r generico sarà
$Q= int_(S) \rho dV $ dove S è la porzione di sfera tra R1 ed R2. Viene facile calcolare questo integrale in quanto $\rho$ dipende solo da r e quindi ho $Q(r) = 2 pi c (r^2 - R_1 ^2)$
Applico il teo di Gauss con la superficie sferica di raggio r ed ho quindi $4pir^2 E_(distrib) = (Q(r))/epsilon_0$, perciò $E_(distrib) = c(r^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2) $. Il campo totale è quest'ultimo sommato al campo della carica q
all'esterno della sfera di raggio R2 il campo è dovuto di nuovo alla somma dei due campi, e stavolta il campo dovuto alla distribuzione vale $E_(distrib) = c(R_2^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2) $, perciò basta sommarli di nuovo.
Nel volume compreso tra due superfici sferiche concentriche di raggio $R_1$ e $R_2$ (con $R_1 < R_2$) è distribuita una carica elettrica positiva con densità non uniforme $ρ = c/r$, c = costante. Al centro del sistema (r = 0) è posta una carica puntiforme positiva q. Determinare:
a) L’espressione del campo elettrostatico in funzione della distanza r dal centro del sistema;
b) La costante c affinché nella regione $R_1 ≤ r ≤ R_2$ il campo elettrostatico sia uniforme.
dal primo punto mi viene che il campo per $R_1 ≤ r ≤ R_2$ vale $E=q/(4pi epsilon_0 r^2) + c(r^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2)$. Quale condizione equivale a dire che il campo sia uniforme? In pratica, come risolvo il secondo punto?
Ho provato a derivare rispetto ad r per poi trovare il c che annulla la derivata, ma così facendo c dipenderebbe da r...
ho svolto così il primo punto, qualora voleste controllare:
all'interno della sfera di raggio R1 il campo dovuto alla distribuzione di carica è nullo per ragioni di simmetria, pertanto c'è solo il campo della carica q, che vale $E_q = q/(4 \pi \epsilon_0 r^2)$
tra le due sfere, cioè quando $R_1 ≤ r ≤ R_2$, La carica contenuta nella sfera di raggio r generico sarà
$Q= int_(S) \rho dV $ dove S è la porzione di sfera tra R1 ed R2. Viene facile calcolare questo integrale in quanto $\rho$ dipende solo da r e quindi ho $Q(r) = 2 pi c (r^2 - R_1 ^2)$
Applico il teo di Gauss con la superficie sferica di raggio r ed ho quindi $4pir^2 E_(distrib) = (Q(r))/epsilon_0$, perciò $E_(distrib) = c(r^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2) $. Il campo totale è quest'ultimo sommato al campo della carica q
all'esterno della sfera di raggio R2 il campo è dovuto di nuovo alla somma dei due campi, e stavolta il campo dovuto alla distribuzione vale $E_(distrib) = c(R_2^2 - R_1 ^2)/(2epsilon_0 r^2) $, perciò basta sommarli di nuovo.
Risposte
Uniforme qui vuol dire che non dipende da r. Se il valore di E che hai trovato è giusto, basta scriverlo, dividendo, come polinomio e fare in modo che r scompaia. Se annulli la derivata rispetto ad r va ugualmente bene... evidentemente hai sbagliato i calcoli 
potresti aiutarmi, tu o chiunque altro, a trovare l'errore? Non sono sicuro del risultato di $Q(r) = int_(Sfera) c/r dV $, è tanto che non calcolo integrali multipli... è corretto dire che spezzandolo in tre integrali ottengo $Q(r) = int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi) int_(R_1)^(r) c/rho drho d\theta dphi $? Se così fosse verrebbe $Q(r) = 2 pi^2 c ln(r - R_1)$ e quindi poi $4pi r^2 E_(distrib) = 1/epsilon_0 (2c pi^2 ln(r-R_1))$, da cui infine $E(distrib) = (c pi ln(r-R_1))/(2 epsilon_o r^2)$. Solo che non mi sembra di aver concluso granchè in questo modo.Il campo totale ora sarebbe $E =1/(2 epsilon_o r^2) (q/(2pi) + pi c ln(r - R_1))$ e derivando otterrei $(dE)/(dr) = (pic)/r (1-2 ln(r-R_1)) - q/pi = 0$, ma sono di nuovo al problema di prima, non c'è una c costante che annulli l'espressione. Magari la risposta è proprio questa?
L'integrale è sbagliato. Se trasformi le coordinate, devi introdurre lo jacobiano della trasformazione...
la prima espressione della $E$ che hai trovato è corretta
ora,se non ho fatto male i calcoli,si ha
$E'=(-q/(2piepsilon_0)+(cR_1^2)/(epsilon_0))1/r^3$
quindi,
$E'=0$ per $c=q/(2piR_1^2)$
ora,se non ho fatto male i calcoli,si ha
$E'=(-q/(2piepsilon_0)+(cR_1^2)/(epsilon_0))1/r^3$
quindi,
$E'=0$ per $c=q/(2piR_1^2)$
ok, chiaramente avevo sbagliato a derivare... dannazione. Vi ringrazio entrambi per la risposta, effettivamente così tutto ha senso. A presto.
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