Campo generato da una calotta semisferica

[Danyled]

Buonasera,
studiando fisica, mi sono imbattuto in questo problema:

Sia data nel vuoto una superficie semisferica di raggio R uniformemente carica con densità superficiale di
carica σ. Trovare il potenziale e il campo elettrico nel centro della semisfera.

Ho le soluzioni ( $V=(\sigma R)/(2\epsilon_0)$ e $E_z=(\sigma R)/(4\epsilon_0)$ )

Qualcuno sa come devo impostare l'integrale per risolvere l'esercizio?

[TonyCOD]

[RenzoDF]

Premesso che quel risultato per il campo elettrico è errato già dal punto di vista dimensionale, per il potenziale il calcolo è ovviamente banale, mentre per il campo, ipotizzando che l'asse della calotta corrisponda all'asse $z$, avrei tagliato la calotta a fette infinitesime di spessore $dz$ e scritto la carica infinitesima della "fetta" come [nota]Per Archimede.[/nota]

$dq=\sigma dS=\sigma 2\pi R dz$

e detto $\theta$ l'angolo al centro formato dal campo elettrico $d\vec E$ (relativo ad ogni elemento infinitesimo di dette fette infinitesime) e l'asse $z$, avrei scritto la componente assiale della fetta come

$dE_z=dE\cos\theta =k\frac{dq}{R^2}\cdot\frac{z}{R}$

ed infine il campo totale

$E_z= k\frac{\sigma \pi }{R^2 }\int_{0}^{R}2z\ dz=k\pi\sigma$

[TonyCOD]

anche a me viene così