Campo elettrostatico sfera cava
E' da circa 3/4 d'ora che sbatto la testa su questo esercizio:
In realtà il primo risultato l'ho ottenuto corretto procedendo così: ho immaginato una sfera piena e sottratto i valori (per principio di sovrapposizione) della sfera cava come se fosse una sfera di carica negativa.
Il problema è che non comprendo come giungere al risultato 2 e 3.
Mi sembra che è come se il testo scrivesse
$E(r)4pi(x-R/2)^2=(\rho4/3pi(R/2)^3)/\epsilon_0$ per il contributo della sfera piccola da sottrarre a quella piena.
Ma è un Gauss che non funzionerebbe.
La mia idea è di calcolare il contributo a un certo -x della sfera piena e sottrarre la parte di sfera vuota con una sfera carica negativamente, in tal caso però le cose sono complicate dal fatto che avrei un contributo della sola sfera vuota interna alla superficie gaussiana di raggio |-x| centrata nell'origine. Ma non capisco come metterlo in formule.
Vi ringrazio.
In realtà il primo risultato l'ho ottenuto corretto procedendo così: ho immaginato una sfera piena e sottratto i valori (per principio di sovrapposizione) della sfera cava come se fosse una sfera di carica negativa.
Il problema è che non comprendo come giungere al risultato 2 e 3.
Mi sembra che è come se il testo scrivesse
$E(r)4pi(x-R/2)^2=(\rho4/3pi(R/2)^3)/\epsilon_0$ per il contributo della sfera piccola da sottrarre a quella piena.
Ma è un Gauss che non funzionerebbe.
La mia idea è di calcolare il contributo a un certo -x della sfera piena e sottrarre la parte di sfera vuota con una sfera carica negativamente, in tal caso però le cose sono complicate dal fatto che avrei un contributo della sola sfera vuota interna alla superficie gaussiana di raggio |-x| centrata nell'origine. Ma non capisco come metterlo in formule.
Vi ringrazio.
Risposte
La tua idea è corretta, ti ricordo che le due sfere con opposta carica sono compenetrate e di conseguenza andrai a "sovrapporre" i due campi relativi alle frazioni sferiche relative alla coordinata x, ovvero alla sfera $S1_p$ con densità di carica $+\rho$ di raggio $x$ e alla sfera $S2_p$ con densità $\-rho$ con raggio \(R/2-x\).
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 1.0
FJC L 10 -52429 0.43
FJC L 13 -6118750 0.47
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 86 121 86 121 0
LI 146 66 146 66 0
SA 96 71 0
TY 97 67 3 2 0 1 0 * P
EV 86 50 131 91 1
TY 105 43 4 3 0 1 1 * S2
TY 94 75 4 3 0 1 1 * x
EV 96 59 122 84 1
FCJ 1 0
EV 76 80 96 61 2
FCJ 1 0
EV 131 116 41 26 2
TY 43 40 4 3 0 1 2 * S1
TY 73 56 4 3 0 1 2 * S1p
TY 104 53 4 3 0 1 11 * S2p
LI 109 66 109 76 13
LI 36 71 146 71 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 86 16 86 121 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 82 72 4 3 0 1 14 * 0[/fcd]
Per un problema simile puoi dare un occhio al seguente vecchi thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=136270&hilit=cavita
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 1.0
FJC L 10 -52429 0.43
FJC L 13 -6118750 0.47
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 86 121 86 121 0
LI 146 66 146 66 0
SA 96 71 0
TY 97 67 3 2 0 1 0 * P
EV 86 50 131 91 1
TY 105 43 4 3 0 1 1 * S2
TY 94 75 4 3 0 1 1 * x
EV 96 59 122 84 1
FCJ 1 0
EV 76 80 96 61 2
FCJ 1 0
EV 131 116 41 26 2
TY 43 40 4 3 0 1 2 * S1
TY 73 56 4 3 0 1 2 * S1p
TY 104 53 4 3 0 1 11 * S2p
LI 109 66 109 76 13
LI 36 71 146 71 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 86 16 86 121 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 82 72 4 3 0 1 14 * 0[/fcd]
Per un problema simile puoi dare un occhio al seguente vecchi thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=136270&hilit=cavita
Ti ringrazio per la risposta.
Diciamo che il mio problema non risiede sul primo risultato che in effetti è giusto facendo le considerazioni che anche tu riporti.
Il problema è che non capisco come arrivare al risultato del valore "secondo" e "terzo" dei risultati. Ci ho provato davvero in tutti i modi, il problema è che non capisco come far sì che il contributo di quella sorta di "ellissoide" che ho tratteggiato nella figura sia
$E_1=(\rho*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0*(x-R/2)^2)$
Qeuello della sfera $E_s$ lo trovo giusto.
Perché poi quel che fa è proprio sommare $E_(TOT)=E_s-E_1$
Il primo mi torna corretto, cioè E sulla parte di asse nella sfera cava,ma fuori da essa sbaglio qualcosa che non vedo
Diciamo che il mio problema non risiede sul primo risultato che in effetti è giusto facendo le considerazioni che anche tu riporti.
Il problema è che non capisco come arrivare al risultato del valore "secondo" e "terzo" dei risultati. Ci ho provato davvero in tutti i modi, il problema è che non capisco come far sì che il contributo di quella sorta di "ellissoide" che ho tratteggiato nella figura sia
$E_1=(\rho*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0*(x-R/2)^2)$
Qeuello della sfera $E_s$ lo trovo giusto.
Perché poi quel che fa è proprio sommare $E_(TOT)=E_s-E_1$
Il primo mi torna corretto, cioè E sulla parte di asse nella sfera cava,ma fuori da essa sbaglio qualcosa che non vedo
Non c'è nessun elissoide, in tutti e tre i casi ci sono solo due sfere parziali di carica opposta.
E' chiaro che quando ci troviamo nel semiasse negativo delle ordinate (o quando x>R/2), la sfera carica negativamente deve essere considerata a raggio costante pari a R/2, e all'asterno di entrambe, anche la positiva , con raggio R.
E' chiaro che quando ci troviamo nel semiasse negativo delle ordinate (o quando x>R/2), la sfera carica negativamente deve essere considerata a raggio costante pari a R/2, e all'asterno di entrambe, anche la positiva , con raggio R.
Ti faccio una domanda: quanto vale la distanza fra centro della cavità e generico punto $x$ dell'asse delle ordinate 
Eh giusto, stavo facendo un mischione e stavo solo considerando il campogenerato dalle cariche interne alla sfera di raggio x, stavo applicando un Gauss al campo anziché al flusso del campo.
Ad ogni modo qualcosa non mi torna comunque, provo a scriverti le formule che forse è meglio:
Sfera con rho negativo:
per gauss
$E4pi(R/2)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)=> E=(\rho(R/2))/(3*\epsilon_0)$
Per la sfera di raggio -x nel caso si fosse sull'asse negativo:
$E=(rho(-x))/(2\epsilon_0)$
Se ora faccio la differenza tra i due:
$E(-x)=\rho/(3*\epsilon_0)(-x-(R/2))$
Perché c'è quel $(x-R/2)^2$ al denominatore?
EDIT:
Ho fatto come fosse una traslazione di assi nel vecchio sistema di riferimento si ha: $x=R/2+X$ ovvero rispetto al sistema centrato nella sfera piccola: $X=-R/2+x$
Ad ogni modo qualcosa non mi torna comunque, provo a scriverti le formule che forse è meglio:
Sfera con rho negativo:
per gauss
$E4pi(R/2)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)=> E=(\rho(R/2))/(3*\epsilon_0)$
Per la sfera di raggio -x nel caso si fosse sull'asse negativo:
$E=(rho(-x))/(2\epsilon_0)$
Se ora faccio la differenza tra i due:
$E(-x)=\rho/(3*\epsilon_0)(-x-(R/2))$
Perché c'è quel $(x-R/2)^2$ al denominatore?
EDIT:
"RenzoDF":
Ti faccio una domanda: quanto vale la distanza fra centro della cavità e generico punto $x$ dell'asse delle ordinate
Ho fatto come fosse una traslazione di assi nel vecchio sistema di riferimento si ha: $x=R/2+X$ ovvero rispetto al sistema centrato nella sfera piccola: $X=-R/2+x$
Lascia perdere le traslazioni, come ti dicevo il raggio della superficie gaussiana da considerare nel secondo caso è (R/2-x).
... e quindi è errato scrivere
che sarà invece
$E4pi(R/2-x)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)=> E=(\rho(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)$
"dargo":
...
Sfera con rho negativo:
per gauss
$E4pi(R/2)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)=> E=(\rho(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)$
che sarà invece
$E4pi(R/2-x)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)=> E=(\rho(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)$
Quindi il mio errore primario è poprio di concetto qui
Non capisco perché prendo $E4pi(R/2-x)^2$ a primo membro e non tutta la sfera vuota
"RenzoDF":
$E4pi(R/2-x)^2=(4*pi*(R/2)^3)/(3*\epsilon_0)$
Non capisco perché prendo $E4pi(R/2-x)^2$ a primo membro e non tutta la sfera vuota
"dargo":
...
Non capisco perché prendo $E4pi(R/2-x)^2$ a primo membro e non tutta la sfera vuota
Scusa ma ripeto, la superficie gaussiana che devi considerare che raggio ha per i punti con x<0?
La sfera carica negativamente (non "vuota") la prendiamo tutta, ovviamente, ma compare a secondo membro.
No ho capito che dici dover essere: $R/2-x$ ma non ho capito perché devo considerarla sempre più piccola all'aumentare di |-x|, inoltre nel momento in cui ho $|-x|=|-R/2|$ avrò una superficie gaussiana nulla.
Non riesoc a vederlo, perdonami. Più che la formula non afferro il perché
Non riesoc a vederlo, perdonami. Più che la formula non afferro il perché
"dargo":
No ho capito che dici dover essere: $R/2-x$ ma non ho capito perché devo considerarla sempre più piccola ...
Ti ricordo che per $x<0$ la differenza $R/2-x$ diventa una somma
Ma certo!
Grazie, non ne sarei uscito, mi ero impuntato su una cosa così sciocca.
Grazie, non ne sarei uscito, mi ero impuntato su una cosa così sciocca.
Di nulla. 
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