Campo elettrostatico generato da distr. sferica di carica
Ciao,
chi mi sa dire se (e perché) il mio procedimento è sbagliato?
Applicazione legge di Gauss:
$E 4/3 \pi (R/2)^2 = Q/\epsilon_0 = 4/3 \pi \rho_0 \int_{0}^{R/2} r^2 dr = = 4/3 \pi \epsilon_0 \rho_0 (R/2)^3 1/3$
quindi:
$E = \rho_0 / \epsilon_0 R / 6 = 66 N/C$
chi mi sa dire se (e perché) il mio procedimento è sbagliato?
Applicazione legge di Gauss:
$E 4/3 \pi (R/2)^2 = Q/\epsilon_0 = 4/3 \pi \rho_0 \int_{0}^{R/2} r^2 dr = = 4/3 \pi \epsilon_0 \rho_0 (R/2)^3 1/3$
quindi:
$E = \rho_0 / \epsilon_0 R / 6 = 66 N/C$
Risposte
È corretta l'idea di applicare il teorema di Gauss, ma è errato il calcolo della carica netta.
La carica netta contenuta nella superficie sferica di raggio \( \displaystyle r \) e avente centro nel centro della distribuzione è funzione di \( \displaystyle r \) per la simmetria sferica della distribuzione:
\( \displaystyle Q(r) = \int_0^r \rho(x) S(x) d x = \int_0^r \frac{\rho_0}{x} 4\pi x^2 d x = 4\pi\rho_0\int_0^r x d x = 4\pi\rho_0\frac{1}{2}r^2 = 2\pi\rho_0r^2 \).
A questo punto risulta, come hai scritto: \( \displaystyle E(r)=\frac{Q(r)}{\epsilon_0 S(r)} = \frac{2\pi\rho_0 r^2}{\epsilon_0 4\pi r^2} = \frac{\rho_0}{2\epsilon_0} \) per \( \displaystyle r \leq R \) e \( \displaystyle E(r)=\frac{Q(R)}{\epsilon_0 S(r)} = \frac{2\pi\rho_0 R^2}{\epsilon_0 4\pi r^2} = \frac{\rho_0 R^2}{2\epsilon_0 r^2} \) per \( \displaystyle r > R \). Sostituendo a \( \displaystyle r \) i due valori dati trovi effettivamente i risultati che dà il testo.
La carica netta contenuta nella superficie sferica di raggio \( \displaystyle r \) e avente centro nel centro della distribuzione è funzione di \( \displaystyle r \) per la simmetria sferica della distribuzione:
\( \displaystyle Q(r) = \int_0^r \rho(x) S(x) d x = \int_0^r \frac{\rho_0}{x} 4\pi x^2 d x = 4\pi\rho_0\int_0^r x d x = 4\pi\rho_0\frac{1}{2}r^2 = 2\pi\rho_0r^2 \).
A questo punto risulta, come hai scritto: \( \displaystyle E(r)=\frac{Q(r)}{\epsilon_0 S(r)} = \frac{2\pi\rho_0 r^2}{\epsilon_0 4\pi r^2} = \frac{\rho_0}{2\epsilon_0} \) per \( \displaystyle r \leq R \) e \( \displaystyle E(r)=\frac{Q(R)}{\epsilon_0 S(r)} = \frac{2\pi\rho_0 R^2}{\epsilon_0 4\pi r^2} = \frac{\rho_0 R^2}{2\epsilon_0 r^2} \) per \( \displaystyle r > R \). Sostituendo a \( \displaystyle r \) i due valori dati trovi effettivamente i risultati che dà il testo.
Un attimo, perché $S(x) = 4/3 \pi x^2$?
Il volume della sfera è $4/3 \pi x^3$. Cosa mi sfugge?
Il volume della sfera è $4/3 \pi x^3$. Cosa mi sfugge?
Errore mio: ho dimenticato di correggere il volume con la superficie e ho lasciato un 3 a denominatore di troppo, poi ho fatto copia incolla a manetta senza guardare 
Il fatto è che puoi considerare la sfera come l'unione di gusci concentrici di spessore infinitesimo e quindi la carica totale contenuta nella sfera come la somma delle cariche presenti su tutti questi gusci: ciascuno dei termini di questa somma è uguale al prodotto tra il "volume infinitesimo" del guscio e la densità volumica di carica relativa a quel guscio (dimensionalmente, \( \displaystyle \frac{\rho_0}{r} \) è una carica su una lunghezza al cubo). Questo "volume infinitesimo" del guscio di raggio \( \displaystyle r \) può essere considerato intuitivamente come il prodotto dello spessore infinitesimo \( \displaystyle dr \) del guscio per la superficie della sfera di raggio \( \displaystyle r \) a cui tendono la superficie interna ed esterna del guscio per il tendere a 0 dello spessore (immagino che giustamente molti inorridiranno a veder trattare il differenziale come un numero come sui testi vecchi, però penso che aiuti a comprendere l'idea che sta dietro al discorso
). Quindi, se immagini l'integrale come la somma delle cariche dei gusci, il volume infinitesimo è rappresentato da \( \displaystyle S(x) dx = 4\pi x^2 dx \), e perciò nell'argomento dell'integrale compare la superficie della sfera e non il volume.
Il fatto è che puoi considerare la sfera come l'unione di gusci concentrici di spessore infinitesimo e quindi la carica totale contenuta nella sfera come la somma delle cariche presenti su tutti questi gusci: ciascuno dei termini di questa somma è uguale al prodotto tra il "volume infinitesimo" del guscio e la densità volumica di carica relativa a quel guscio (dimensionalmente, \( \displaystyle \frac{\rho_0}{r} \) è una carica su una lunghezza al cubo). Questo "volume infinitesimo" del guscio di raggio \( \displaystyle r \) può essere considerato intuitivamente come il prodotto dello spessore infinitesimo \( \displaystyle dr \) del guscio per la superficie della sfera di raggio \( \displaystyle r \) a cui tendono la superficie interna ed esterna del guscio per il tendere a 0 dello spessore (immagino che giustamente molti inorridiranno a veder trattare il differenziale come un numero come sui testi vecchi, però penso che aiuti a comprendere l'idea che sta dietro al discorso
). Quindi, se immagini l'integrale come la somma delle cariche dei gusci, il volume infinitesimo è rappresentato da \( \displaystyle S(x) dx = 4\pi x^2 dx \), e perciò nell'argomento dell'integrale compare la superficie della sfera e non il volume.
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