Campo elettrostatico

[niccoset]

L'esercizio del libro è il seguente:
Tre lati di un quadrato di materiale isolante di lato $ 2l = 10 cm $ hanno ciascuno una carica $ q=2*10^-9 $. Calcolare il campo elettrostatico $ vec E_0 $ nel centro $ O $.
ps: i tre lati carichi sono quello in alto, quello a destra e quello di sinistra.

Di seguito (in spoiler) scrivo la mia soluzione e chiedo a voi se esiste una soluzione più rapida o se nella mia c'è qualche errore.

La densità lineare su ciascuno dei tre lati è data da: $ lambda=q/(2l) $.
Il campo generato sul centro del quadrato dai due lati opposti carichi in uguale modo è nullo (non so se sia corretto dirlo cosi) e il centro del quadrato risente solo del campo dato dal lato in alto del quadrato.
Ciascun elemento del lato alto possiede una carica $ dq=lambdadx' $ e produce nell'origine un campo elettrostatico infinitesimo dato da $ dvecE(O)=(lambdadx')/(4piepsi_0r^2)hat(u) $ dove $ r $ rappresenta la distanza tra l'elemento $ dx' $ e il centro del quadrato e $ hat(u) $ il versore diretto da $ dx' $ al centro del quadrato.
L'elemento $ dx' $ simmetrico produce lo stesso campo disposto in modo speculare quindi $ dvecE(O)=-dE_y(O)hatu_y=-(lambdadx')/(2piepsi_0r^2)costhetahatu_y $.
Da qui, essendo $ rcostheta=l $ e $ dx'=l/(cos^2theta)d theta $ ottengo $ dvecE(O)=-lambda/(2piepsi_0l)cos thetad thetahatu_y $.
Integrando poi tra $ theta=0 $ e $ theta=pi/4 $ l'elemento infinitesimo $ dvecE(O) $ ottengo il campo $ vecE(O)=-q/(4piepsi_0l^2 sqrt2)hatu_y $

Grazie.

[Palliit]

Mi sembra che vada bene.

[niccoset]

Grazie.