Campo elettrico tra due gusci cilindrici
$ \deltaU = c*dVo $Salve a tutti, sono bloccato sul seguente problema:
Due sottili gusci cilindrici rispettivamente raggio $ R1 = 0,12 cm $, ed $ R2 = 0,2 cm $, e lunghi $ D = 100 m $, sono concentrici e caratterizzati da una densità di carica $ \lambda1 = -0,38 (uC)/m $ per il cilindro interno, e $ \lambda2 = 0,32 (uC)/m $, per il cilindro esterno. Un elettrone di massa $ m = 9,1*10^-31 $, dotato di carica $ c = 1,6*10^-19 C $, è emesso dalla superficie del cilindro interno, alla superficie del cilindro esterno; con quale velocità raggiunge l'altro cilindro ?
Allora effettivamente il problema può essere risolto usando la legge di conservazione dell'energia meccanica, dove l'energia cinetica iniziale dell'elettrone è nulla, in quanto parte da fermo. Si avrebbe dunque: $ Kf = Ui - Uf $, dove $ Kf = 1/2*m*vf $
Dunque dobbiamo determinare la differenza di energia potenziale, ma si da il caso che $ \deltaU = c*dVo $, dove $ dVo $, è la differenza di potenziale elettrostatico tra i due cilindri. Ora dovrei dunque trovare il campo elettrico tra $ R1 $ ed $ R2 $, usando il teorema di Gauss, ma qui mi blocco perché considerato un cilindro di altezza D, e raggio $ r $, con $ R1 < r < R2 $, mi chiedo quale sia la carica contenuta in tale cilindro.
In generale per un cilindro, con densità di carica $ \lambda $, si assume tale densità distribuita su un filo coincidente con l'asse di tale cilindro.
Dunque dato che ho due cilindri concentrici, $ \lambda1 $ e $ \lambda2 $, si distribuiscono entrambe sullo stesso asse, in quanto gli assi dei due cilindri coincidono, giusto?
Due sottili gusci cilindrici rispettivamente raggio $ R1 = 0,12 cm $, ed $ R2 = 0,2 cm $, e lunghi $ D = 100 m $, sono concentrici e caratterizzati da una densità di carica $ \lambda1 = -0,38 (uC)/m $ per il cilindro interno, e $ \lambda2 = 0,32 (uC)/m $, per il cilindro esterno. Un elettrone di massa $ m = 9,1*10^-31 $, dotato di carica $ c = 1,6*10^-19 C $, è emesso dalla superficie del cilindro interno, alla superficie del cilindro esterno; con quale velocità raggiunge l'altro cilindro ?
Allora effettivamente il problema può essere risolto usando la legge di conservazione dell'energia meccanica, dove l'energia cinetica iniziale dell'elettrone è nulla, in quanto parte da fermo. Si avrebbe dunque: $ Kf = Ui - Uf $, dove $ Kf = 1/2*m*vf $
Dunque dobbiamo determinare la differenza di energia potenziale, ma si da il caso che $ \deltaU = c*dVo $, dove $ dVo $, è la differenza di potenziale elettrostatico tra i due cilindri. Ora dovrei dunque trovare il campo elettrico tra $ R1 $ ed $ R2 $, usando il teorema di Gauss, ma qui mi blocco perché considerato un cilindro di altezza D, e raggio $ r $, con $ R1 < r < R2 $, mi chiedo quale sia la carica contenuta in tale cilindro.
In generale per un cilindro, con densità di carica $ \lambda $, si assume tale densità distribuita su un filo coincidente con l'asse di tale cilindro.
Dunque dato che ho due cilindri concentrici, $ \lambda1 $ e $ \lambda2 $, si distribuiscono entrambe sullo stesso asse, in quanto gli assi dei due cilindri coincidono, giusto?
Risposte
E' sottinteso che con quel rapporto lunghezza diametro i cilindri possono essere considerati indefiniti e quindi potrai risolvere il problema: considerando una lunghezza unitaria di 1m, calcolando il campo elettrico E(r) relarivo al generico raggio r usando Gauss [nota]Chiaramente questo risultato sarà valido solo lontano dagli estremi, dove il campo non è più radiale a causa dell'effetto ai bordi, ma questo era chiaramente sottinteso dal testo.[/nota], la differenza di potenziale fra i due cilindri integrando E(r)dr da R1 a R2, ed infine l'energia dal prodotto fra carica e tensione. Energia che uguagliata a quella cinetica porterà alla velocità finale dell'elettrone.
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