Campo elettrico tra due barrette
Ho un piccolo dubbio su come calcolare il campo elettrico generato da due barrette di carica Q lunghe L e la cui distanza tra i centri delle due barrette è D. Il mio problema è capire come procedere.
Io avevo pensato di risolvere così:
mi trovo prima il campo generato da una barretta risolvendo questo integrale:
$ frac{lambda}{4 pi epsilon}*int_(0)^(L) frac{1}{x^2} dx $
però x deve essere la distanza dalla fine della barretta all'inizio dell'altra?
e poi lo moltiplico per il campo generato dalla seconda barretta:
$ frac{lambda}{4 pi epsilon}*int_(d-frac{L}{2))^(d+L) frac{1}{x^2} dx $
(anche in questo caso la distanza come la considero)
grazie
Io avevo pensato di risolvere così:
mi trovo prima il campo generato da una barretta risolvendo questo integrale:
$ frac{lambda}{4 pi epsilon}*int_(0)^(L) frac{1}{x^2} dx $
però x deve essere la distanza dalla fine della barretta all'inizio dell'altra?
e poi lo moltiplico per il campo generato dalla seconda barretta:
$ frac{lambda}{4 pi epsilon}*int_(d-frac{L}{2))^(d+L) frac{1}{x^2} dx $
(anche in questo caso la distanza come la considero)
grazie
Risposte
le barrette sono affiancate per lunghezza l o per base?
Io tenterei di risolvere in questo modo:
Supponendo che siano uniformemente cariche userei il teorema del flusso.
Non fornendoti altri dati relativi alle dimensioni degli oggetti in questione, suppongo che voglia che tu li consideri non dissimili da fili quindi...
nel caso in cui siano affiancate per lunghezza, calcolandone il flusso del campo attraverso una superficie cilindrica di raggio r>2D e lunghezza L
l'integrale di E in ds per l'area del cilindro= E*2*2D*π*L uguagliamo secondo legge di Gauss
E*4*D*π*L=Q/costante dielettrica, otteniamo quindi il campo elettrico lungo la superficie laterale
E=Q/4*D*L*π*costante dielettrica
oppure E=λ/4*D*π*costante dielettrica
al campo elettrico così calcolato dovresti infine sommare il quadruplo del campo elettrico calcolato per la base della barra, cosa che tu non hai (manca lo "spessore delle barre"), in questo modo avresti una buona approssimazione.
E(della singola base approssimativo)=Q/lato1*lato2*costante dielettrica
Se invece le barre sono affiancate per base, l'esercizio diventerebbe totalmente generico a meno di L non avendo tu più alcun altro dato dimensionale.
E=Q/2*R(generico)*π*L*costante dielettrica+2(Q/lato1*lato2(della base)*costante dielettrica)
Ciao
Io tenterei di risolvere in questo modo:
Supponendo che siano uniformemente cariche userei il teorema del flusso.
Non fornendoti altri dati relativi alle dimensioni degli oggetti in questione, suppongo che voglia che tu li consideri non dissimili da fili quindi...
nel caso in cui siano affiancate per lunghezza, calcolandone il flusso del campo attraverso una superficie cilindrica di raggio r>2D e lunghezza L
l'integrale di E in ds per l'area del cilindro= E*2*2D*π*L uguagliamo secondo legge di Gauss
E*4*D*π*L=Q/costante dielettrica, otteniamo quindi il campo elettrico lungo la superficie laterale
E=Q/4*D*L*π*costante dielettrica
oppure E=λ/4*D*π*costante dielettrica
al campo elettrico così calcolato dovresti infine sommare il quadruplo del campo elettrico calcolato per la base della barra, cosa che tu non hai (manca lo "spessore delle barre"), in questo modo avresti una buona approssimazione.
E(della singola base approssimativo)=Q/lato1*lato2*costante dielettrica
Se invece le barre sono affiancate per base, l'esercizio diventerebbe totalmente generico a meno di L non avendo tu più alcun altro dato dimensionale.
E=Q/2*R(generico)*π*L*costante dielettrica+2(Q/lato1*lato2(della base)*costante dielettrica)
Ciao
le barrette (con spessore trascurabile) si trovano appogiate in lunghezza lungo l'asse. Non usando il flusso ti viene qualche altra soluzione? anche perchè la soluzione che hai postato è differente da quella del libro
grazie
grazie
con spessore trascurabile le barre affiancate (se ho ben capito) per lunghezza rappresentano una semplice superficie, quindi io calcolerei il flusso come fosse un armatura piana.
2D è la base e L la lunghezza, quindi...
E≈Q/2*2D*L*costante oppure E≈σ/2*costante
Non usando il teorema di Gauss, ma partendo dalla definizione di campo elettrico viene la stessa cosa se si approssima inizialmente la lunghezza delle barre a infinita al fine di sorvolare sul campo uscente dallo spessore (che tu mi hai detto è trascurabile). Dunque:
-E(generico misurato con una carica puntiforme qualsiasi)= (1/(4*π*costante))*(Q/(r^2))
dove 4*π*(r^2) rappresenta l'area della sfera lungo la quale si calcola il campo elettrico della carica puntiforme(dall'enunciato della legge di coulomb che dice che una qualsiasi carica puntiforme posta in "a" genera un campo elettrico in un qualsiasi punto "b" pari alla carica fratto 4*π*r^2*epsilon, dove r è proprio a-b)
-Da ciò modificando la legge per adattarla al caso E=Q/lato*lato*2(le facce della superficie)*costante
Verifica puoi farla uguagliandole:
Se E=Q/4*π*r^2*costante e E=Q/2*area*costante
allora Q/4*π*r^2*costante=Q/2*area*costante
semplifichiamo i membri uguali
1/4*π*r^2=1/2*area
quindi 4*π*r^2 rappresenta la superficie lungo la quale si calcola il flusso ed è proprio uguale all'area di una sfera, ergo, noi possiamo usare lato*lato*2
cvd
2D è la base e L la lunghezza, quindi...
E≈Q/2*2D*L*costante oppure E≈σ/2*costante
Non usando il teorema di Gauss, ma partendo dalla definizione di campo elettrico viene la stessa cosa se si approssima inizialmente la lunghezza delle barre a infinita al fine di sorvolare sul campo uscente dallo spessore (che tu mi hai detto è trascurabile). Dunque:
-E(generico misurato con una carica puntiforme qualsiasi)= (1/(4*π*costante))*(Q/(r^2))
dove 4*π*(r^2) rappresenta l'area della sfera lungo la quale si calcola il campo elettrico della carica puntiforme(dall'enunciato della legge di coulomb che dice che una qualsiasi carica puntiforme posta in "a" genera un campo elettrico in un qualsiasi punto "b" pari alla carica fratto 4*π*r^2*epsilon, dove r è proprio a-b)
-Da ciò modificando la legge per adattarla al caso E=Q/lato*lato*2(le facce della superficie)*costante
Verifica puoi farla uguagliandole:
Se E=Q/4*π*r^2*costante e E=Q/2*area*costante
allora Q/4*π*r^2*costante=Q/2*area*costante
semplifichiamo i membri uguali
1/4*π*r^2=1/2*area
quindi 4*π*r^2 rappresenta la superficie lungo la quale si calcola il flusso ed è proprio uguale all'area di una sfera, ergo, noi possiamo usare lato*lato*2
cvd
Provo a spiegarmi meglio...
Tu prendi due fili lunghi L e li appoggi orizzontalmente sull'asse x.....la distanza tra un filo e l'altro è A(ossia D-L...perchè D è la distanza tra L/2 del primo filo ed L/2 del secondo filo), ok?
Tu prendi due fili lunghi L e li appoggi orizzontalmente sull'asse x.....la distanza tra un filo e l'altro è A(ossia D-L...perchè D è la distanza tra L/2 del primo filo ed L/2 del secondo filo), ok?
aaaa sono affiancati per base, a distanza D-L, ora ho capito
ok
Allora dobbiamo calcolare il campo elettrico tra le barre, all'esterno delle barre e poi quello delle stesse.
Ti avverto che ho un dubbio sul come calcolare il campo interno, mi spiego.
Essendo lo spessore trascurabile io calcolerei il campo interno come tra due cariche puntiformi di carica Q/L cioè λ.
Ora non so se il campo va calcolato come quello di una sfera (essendo le cariche uguali) formata dalle due semisfere orientate internamente dalle cariche puntiformi, oppure come semplice somma dei campi sferici (il chè creerebbe un difetto nel momento in cui vai a sommare il primo campo calcolato con quello uscente lungo L delle barrette... immaginalo spazialmente -|--------------|- -|---------------|-).
Mi sembra comunque più corretta la prima ipotesi.
2*(K*(λ/((D-L)^2))/2 quindi k*(λ/((D-L)^2)) è il campo interno
il campo lungo la barra singola è Q/2*π*r*L*costante con r piccola a piacere per via dello spessore trascurabile (io userei 1 per semplificare)
all'esterno della singola barra è ancora assimilabile a quello generato da una puntiforme diviso 2
(K*(λ/((D-L)^2))/2
Mi scrivi la traccia dell'esercizio?
Grazie
ok
Allora dobbiamo calcolare il campo elettrico tra le barre, all'esterno delle barre e poi quello delle stesse.
Ti avverto che ho un dubbio sul come calcolare il campo interno, mi spiego.
Essendo lo spessore trascurabile io calcolerei il campo interno come tra due cariche puntiformi di carica Q/L cioè λ.
Ora non so se il campo va calcolato come quello di una sfera (essendo le cariche uguali) formata dalle due semisfere orientate internamente dalle cariche puntiformi, oppure come semplice somma dei campi sferici (il chè creerebbe un difetto nel momento in cui vai a sommare il primo campo calcolato con quello uscente lungo L delle barrette... immaginalo spazialmente -|--------------|- -|---------------|-).
Mi sembra comunque più corretta la prima ipotesi.
2*(K*(λ/((D-L)^2))/2 quindi k*(λ/((D-L)^2)) è il campo interno
il campo lungo la barra singola è Q/2*π*r*L*costante con r piccola a piacere per via dello spessore trascurabile (io userei 1 per semplificare)
all'esterno della singola barra è ancora assimilabile a quello generato da una puntiforme diviso 2
(K*(λ/((D-L)^2))/2
Mi scrivi la traccia dell'esercizio?
Grazie
Ecco la traccia dell'esercizio:
Due barrette sottili di materiale isolante di lunghezza L (10cm), portano ciascuno una carica Q (5*10^-9 C), distribuita uniformemente sulla loro lunghezza. Le bacchette stanno sull'asse x con i loro centri distanti D (15cm) calcolare la forza F tra le due bacchette....
......|-------D------|.......
|=====|----|=====|----------> x
......L.............L................
Risuttato:
E(x)= $ frac{lambda}{4 pi epsilon}(frac{1}{x-frac{L}{2}})(frac{1}{x+frac{L}{2}}) $
da qui poi usa la formula dF= $ lambda $ dxE per la forza
Io non riesco a capire come arriva al calcolo di quel campo elettrico
grazie
Due barrette sottili di materiale isolante di lunghezza L (10cm), portano ciascuno una carica Q (5*10^-9 C), distribuita uniformemente sulla loro lunghezza. Le bacchette stanno sull'asse x con i loro centri distanti D (15cm) calcolare la forza F tra le due bacchette....
......|-------D------|.......
|=====|----|=====|----------> x
......L.............L................
Risuttato:
E(x)= $ frac{lambda}{4 pi epsilon}(frac{1}{x-frac{L}{2}})(frac{1}{x+frac{L}{2}}) $
da qui poi usa la formula dF= $ lambda $ dxE per la forza
Io non riesco a capire come arriva al calcolo di quel campo elettrico
grazie
Considero ora il campo generato dalla barretta a sinistra, ponendo l'origine al suo centro.
$E(x)=1/(4\pi\epsilon)\int_(-L/2)^(L/2)\lambda/(x-\xi)^2"d"\xi=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)]_(-L/2)^(L/2)=$
$=(\lambdaL)/(4\pi\epsilon)(1/(x-L/2))(1/(x+L/2))$.
mancava $L$ nel risultato.
$E(x)=1/(4\pi\epsilon)\int_(-L/2)^(L/2)\lambda/(x-\xi)^2"d"\xi=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)]_(-L/2)^(L/2)=$
$=(\lambdaL)/(4\pi\epsilon)(1/(x-L/2))(1/(x+L/2))$.
mancava $L$ nel risultato.
perchè aggiungi L al risultato? sul libro non c'è
Quindi poni l'origine al centro della barretta e fai l'integrale.....non mi è chiaro che distanza indichi con (x-ξ) ?
Quindi poni l'origine al centro della barretta e fai l'integrale.....non mi è chiaro che distanza indichi con (x-ξ) ?
Aggiungo $L$ perchè viene così: delle volte (ma solo delle volte) il libro ha un errore.
Del resto -il calcolo è quello.
$\xi$ è l'ascissa di un punto di una barretta.
Sto calcolando infatti il campo generato lungo l'asse delle $x$ da una delle barrette.
Quindi, $(x-\xi)^2$ è la distanza al quadrato tra il punto di ascissa $x$,$|x|>L/2$ per il quale mi interessa il campo, ed un "punto" della barretta (della distribuzione di carica) che origina il campo.
Devo integrare su $\xi$.
L'integrale che ho fatto mi dà il modulo del campo, non il verso -che però conosco
per considerazioni qualitative -essendo $x$ all'esterno della barretta (a destra o a sinistra, a seconda come
le consideri disposte).
Considero il campo generato da una sola delle barrette, perchè
a me interessa la forza agente su una barretta a causa dell'altra: essendo le barrette
ciascuna in equilibrio meccanico -tra tensioni e forze tra le proprie parti.
Questa forza agente sulla barretta 2 a causa della barretta 1 la calcolo come tu stesso hai indicato, stavolta integrando su $x$.
Ovviamente la forza su 1 causata da 2 sarà di stessa direzione e modulo, e di verso opposto.
Del resto -il calcolo è quello.
$\xi$ è l'ascissa di un punto di una barretta.
Sto calcolando infatti il campo generato lungo l'asse delle $x$ da una delle barrette.
Quindi, $(x-\xi)^2$ è la distanza al quadrato tra il punto di ascissa $x$,$|x|>L/2$ per il quale mi interessa il campo, ed un "punto" della barretta (della distribuzione di carica) che origina il campo.
Devo integrare su $\xi$.
L'integrale che ho fatto mi dà il modulo del campo, non il verso -che però conosco
per considerazioni qualitative -essendo $x$ all'esterno della barretta (a destra o a sinistra, a seconda come
le consideri disposte).
Considero il campo generato da una sola delle barrette, perchè
a me interessa la forza agente su una barretta a causa dell'altra: essendo le barrette
ciascuna in equilibrio meccanico -tra tensioni e forze tra le proprie parti.
Questa forza agente sulla barretta 2 a causa della barretta 1 la calcolo come tu stesso hai indicato, stavolta integrando su $x$.
Ovviamente la forza su 1 causata da 2 sarà di stessa direzione e modulo, e di verso opposto.
Ecco allora il calcolo del modulo del campo generato da una barretta in un punto di scissa $x$,$|x|>L/2$
$E(x)=1/(4\pi\epsilon)\int_(-L/2)^(L/2)\lambda/(x-\xi)^2"d"\xi=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)]_(-L/2)^(L/2)=$
$=(\lambda)/(4\pi\epsilon)[(1/(x-L/2))-(1/(x+L/2))]=(\lambda)/(4\pi\epsilon)[(x+(L/2)-x-(-L/2))/((x-L/2)(x+L/2))]=$.
$=(\lambdaL)/(4\pi\epsilon)[1/((x-L/2)(x+L/2))]$
$E(x)=1/(4\pi\epsilon)\int_(-L/2)^(L/2)\lambda/(x-\xi)^2"d"\xi=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)]_(-L/2)^(L/2)=$
$=(\lambda)/(4\pi\epsilon)[(1/(x-L/2))-(1/(x+L/2))]=(\lambda)/(4\pi\epsilon)[(x+(L/2)-x-(-L/2))/((x-L/2)(x+L/2))]=$.
$=(\lambdaL)/(4\pi\epsilon)[1/((x-L/2)(x+L/2))]$
Ma questa traccia è completamente differente da quello che mi hai chiesto prima!
Mi avevi chiesto il campo generato da 2 barrette non tra due barrette eheheheh
Comunque sia neppure io capisco cosa sia quella x... noi sappiamo che la distanza fra i centri delle barrette è D (che per logica sarà $L/2+L/2+X$) e quindi la distanza fra gli estremi interni delle barrette DEVE ESSERE $D-L$
Bah!
Mi avevi chiesto il campo generato da 2 barrette non tra due barrette eheheheh
Comunque sia neppure io capisco cosa sia quella x... noi sappiamo che la distanza fra i centri delle barrette è D (che per logica sarà $L/2+L/2+X$) e quindi la distanza fra gli estremi interni delle barrette DEVE ESSERE $D-L$
Bah!
Per quanto ne so per passare da campo elettrico a forza dovresti moltiplicare per la carica su cui agisce il campo, non per la lunghezza del corpo. Quindi al limite verrebbe:
$(\lambda*Q/(4*\pi*\epsilon))*(1/(x-L/2)^2)$
$(\lambda*Q/(4*\pi*\epsilon))*(1/(x-L/2)^2)$
$x$ è un generico punto sull'asse.
Sto calcolando il campo generato da una barretta al fine di conoscere la forza
scambiata tra le due barrette.
Per il calcolo del campo,l'altra barretta per me non esiste, non mi interessa.
E così non entra $D$ nel calcolo del campo.
Del resto, a parte la $L$, il risultato è quello del libro (e non penso casualmente).
Sto calcolando il campo generato da una barretta al fine di conoscere la forza
scambiata tra le due barrette.
Per il calcolo del campo,l'altra barretta per me non esiste, non mi interessa.
E così non entra $D$ nel calcolo del campo.
Del resto, a parte la $L$, il risultato è quello del libro (e non penso casualmente).
Ho capito il ragionamento e non mi sembra di aver mai detto che è il tuo risultato è casuale...
Ciò non toglie che in questo modo, per come la vedo io, il calcolo risulti un tantino strano... magari fissando la x come $(L/2<=x<=L+D)$ o meglio ancora $(D-L<=x<=D)$
Mi lascia perplesso l'aver ignorato il dato noto "D"... A questo punto avremo potuto usare una distanza qualsiasi e dunque lasciare la sola $x^2$ ...
Non trovi?
Ciò non toglie che in questo modo, per come la vedo io, il calcolo risulti un tantino strano... magari fissando la x come $(L/2<=x<=L+D)$ o meglio ancora $(D-L<=x<=D)$
Mi lascia perplesso l'aver ignorato il dato noto "D"... A questo punto avremo potuto usare una distanza qualsiasi e dunque lasciare la sola $x^2$ ...
Non trovi?
Non intendevo che tu avessi detto che il risultato era casuale: ma che, allora, la
coincidenza del risultato poteva essere un indizio che l'impostazione era corretta.
Io calcolo quel campo sull'asse delle $x$, ed il campo generato dalla
distribuzione di carica su una barretta è indipendente
da qualunque altra carica si trovi sull'asse, o da qualunque altra parte.
Questo per quanto riguarda il calcolo del campo, punto per punto.
POI , per calcolare la forza risultante, integro SULLA $x$,lungo
la posizione dell'altra barretta.
Ecco allora che considererò $D$.
coincidenza del risultato poteva essere un indizio che l'impostazione era corretta.
Io calcolo quel campo sull'asse delle $x$, ed il campo generato dalla
distribuzione di carica su una barretta è indipendente
da qualunque altra carica si trovi sull'asse, o da qualunque altra parte.
Questo per quanto riguarda il calcolo del campo, punto per punto.
POI , per calcolare la forza risultante, integro SULLA $x$,lungo
la posizione dell'altra barretta.
Ecco allora che considererò $D$.
Non mi hai risposto, cerco di spiegarmi meglio sorry, ti sto chiedendo a che serve porre un $x-L/2$ se non si definisce la "x"... basterebbe tenere $x^2$ in quel caso per avere il tuo campo per un qualsiasi punto d'asse x. Non capisco la logica in assenza del dominio.
Perché calcoli la forza come integrale spaziale??? $E*Q=F$
Perché calcoli la forza come integrale spaziale??? $E*Q=F$
la risposta alle tue domande è la stessa: perchè bisogna compiere integrazioni.
Il modulo campo elementare per un punto fisso di ascissa $x$
è $"d"E=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)^2]"d"\xi$
non posso porre $x^2$ - quello è il quadrato della distanza dall'origine.
La distanza che mi interessa è tra la sorgente del campo ed un punto di ascissa$x$.
Mentre il modulo la forza elementare è , come tu dici,
carica*campo $"d"F=E(x)"d"q=E(x)lambda"d"x$.
ma per avere la forza risultante devo integrare.
Il modulo campo elementare per un punto fisso di ascissa $x$
è $"d"E=\lambda/(4\pi\epsilon)[1/(x-\xi)^2]"d"\xi$
non posso porre $x^2$ - quello è il quadrato della distanza dall'origine.
La distanza che mi interessa è tra la sorgente del campo ed un punto di ascissa$x$.
Mentre il modulo la forza elementare è , come tu dici,
carica*campo $"d"F=E(x)"d"q=E(x)lambda"d"x$.
ma per avere la forza risultante devo integrare.
Beh, allora basterebbe scegliere un'origine degli assi opportuna per rendere valida la $x^2$ nelle tue ipotesi... continuo a pensare che la $x$ vada definita in un dominio accurato prima di essere messa in formula.
Da quel che leggo nella tua formula $dF=e(x)dq$ quindi l'integrale va eseguito per $dq$ non $dx$
Anche se lo rendi in $E(x)*Q/S*ds$ dovresti integrare per la superficie e quindi, una volta semplificato torneresti a $E(x)*Q=F$
Prima di andare oltre ti faccio presente che non sono preparato come dovrei sull'elettromagnetismo, quindi domando per ovviare al problema
Da quel che leggo nella tua formula $dF=e(x)dq$ quindi l'integrale va eseguito per $dq$ non $dx$
Anche se lo rendi in $E(x)*Q/S*ds$ dovresti integrare per la superficie e quindi, una volta semplificato torneresti a $E(x)*Q=F$
Prima di andare oltre ti faccio presente che non sono preparato come dovrei sull'elettromagnetismo, quindi domando per ovviare al problema
grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo