Campo elettrico relativo a cilindro finito
Salve a tutti è la prima volta che utilizzo il forum, nonostante l'abbia già consultato qualche volta spero di seguire in modo corretto le regole. Ad ogni modo sono qui per un dubbio che mi è sorto pensando ad una variante di un tipico esempio del corso di elettromagnetismo del secondo anno di fisica. Naturalmente mi sto riferendo, nella sua versione standard, al calcolo del campo elettrico generato da una distribuzione cilindrica di lunghezza infinita, che naturalmente viene individuato con l'utilizzo del teorema di Gauss.
Detto ciò mi sono messo a ragionare sulla possibilità di avere un cilindro con una lunghezza finita e per partire con distribuzione superficiale (uniforme e p.e positiva), dunque cavo.
In primo luogo mi sono reso conto delle complicanze che si hanno soprattutto nel momento in cui si vuole operare tale calcolo nelle zone poste al di sopra e al di sotto della struttura (avendo già dei dubbi non considero l'interno, anche se qualitativamente riuscirei a descriverlo). Diffati in tal caso anche la superficie laterale porta ad un contributo e non solo le 2 faccio piane circolari. Sempre per semplificare mi sono dunque concentrato sull'operare il calcolo in un punto posto sull'asse del cilindro e in maniera intuitiva ho compreso come il campo totale giaccia su esso per simmetria, ossia si ha solo una componente verticale e non le 2 poste sul piano.
Bene innanzitutto vedendo la mancanza di simmetrie eclatanti ho pensato di non utilizzare nuovamente Gauss, ma di sfruttare il calcolo integrale. In maniera tranquilla ho integrato sulle 2 faccie trovando il loro contributo, il dubbio è dunque sorto sul contributo che fornisce il corpo. Riesco infatti a comprendere come esso possa esser visto come la sovrapposizione di anelli e integralmente riesco ad ottenere il contributo di un singolo, però l'integrale faccio fatica ad impostarlo, dato che al contrario del caso della singola spira sono abbastanza sicuro che spostandosi lungo il corpo il valore di r^2 e dell'angolo formato dal vettore distanza rispetto all'asse, dell'elemento dl, non siano costanti. Dunque in soldoni sono in parte dubbioso su gli estremi di integrazione, ma sopratutto su cosa esprimere in funzione di cosa. Pertanto vi chiedo cosa potreste consigliarmi, non richiedo per forza l'integrale impostato, solo uno spunto di ragionamento.
Grazie.
Detto ciò mi sono messo a ragionare sulla possibilità di avere un cilindro con una lunghezza finita e per partire con distribuzione superficiale (uniforme e p.e positiva), dunque cavo.
In primo luogo mi sono reso conto delle complicanze che si hanno soprattutto nel momento in cui si vuole operare tale calcolo nelle zone poste al di sopra e al di sotto della struttura (avendo già dei dubbi non considero l'interno, anche se qualitativamente riuscirei a descriverlo). Diffati in tal caso anche la superficie laterale porta ad un contributo e non solo le 2 faccio piane circolari. Sempre per semplificare mi sono dunque concentrato sull'operare il calcolo in un punto posto sull'asse del cilindro e in maniera intuitiva ho compreso come il campo totale giaccia su esso per simmetria, ossia si ha solo una componente verticale e non le 2 poste sul piano.
Bene innanzitutto vedendo la mancanza di simmetrie eclatanti ho pensato di non utilizzare nuovamente Gauss, ma di sfruttare il calcolo integrale. In maniera tranquilla ho integrato sulle 2 faccie trovando il loro contributo, il dubbio è dunque sorto sul contributo che fornisce il corpo. Riesco infatti a comprendere come esso possa esser visto come la sovrapposizione di anelli e integralmente riesco ad ottenere il contributo di un singolo, però l'integrale faccio fatica ad impostarlo, dato che al contrario del caso della singola spira sono abbastanza sicuro che spostandosi lungo il corpo il valore di r^2 e dell'angolo formato dal vettore distanza rispetto all'asse, dell'elemento dl, non siano costanti. Dunque in soldoni sono in parte dubbioso su gli estremi di integrazione, ma sopratutto su cosa esprimere in funzione di cosa. Pertanto vi chiedo cosa potreste consigliarmi, non richiedo per forza l'integrale impostato, solo uno spunto di ragionamento.
Grazie.
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum.
Il tuo problema, a dire il vero, non lo trovo così interessante: presenta qualche difficoltà di calcolo, ma concettualmente no.
Inoltre bisogna chiarire qualche punto: dici
Perchè cavo? Se è isolante, la distribuzione puoi immaginarla come ti pare; se conduttore, la distribuzione è superficiale comunque, però non è uniforme. Dunque, dobbiamo immaginarlo isolante.
Dopo di che, per trovare il campo sull'asse, abbiamo i contributi delle due basi, ossia due dischi carichi. E' un caso noto. E volendo ricavarlo, si tratta di vederlo come una serie di anelli concentrici. E abbiamo il contributo della superficie laterale, che si può immaginare come una sovrapposizione di anelli: caso noto anche questo. Quindi, un integrale per trattare la serie di anelli, più le due basi.
Che problema c'è? Se sai trovare il campo creato da un anello in un punto dell'asse a distanza $r$ dal piano dell'anello, campo che ha la direzione dell'asse ovviamente, c'è solo da integrare su $r$. I vettori hanno tutti la stessa direzione...
Il tuo problema, a dire il vero, non lo trovo così interessante: presenta qualche difficoltà di calcolo, ma concettualmente no.
Inoltre bisogna chiarire qualche punto: dici
"h_tagliato":
cilindro con una lunghezza finita e per partire con distribuzione superficiale (uniforme e p.e positiva), dunque cavo.
Perchè cavo? Se è isolante, la distribuzione puoi immaginarla come ti pare; se conduttore, la distribuzione è superficiale comunque, però non è uniforme. Dunque, dobbiamo immaginarlo isolante.
Dopo di che, per trovare il campo sull'asse, abbiamo i contributi delle due basi, ossia due dischi carichi. E' un caso noto. E volendo ricavarlo, si tratta di vederlo come una serie di anelli concentrici. E abbiamo il contributo della superficie laterale, che si può immaginare come una sovrapposizione di anelli: caso noto anche questo. Quindi, un integrale per trattare la serie di anelli, più le due basi.
"h_tagliato":
Riesco infatti a comprendere come esso possa esser visto come la sovrapposizione di anelli e integralmente riesco ad ottenere il contributo di un singolo, però l'integrale faccio fatica ad impostarlo, dato che al contrario del caso della singola spira sono abbastanza sicuro che spostandosi lungo il corpo il valore di r^2 e dell'angolo formato dal vettore distanza rispetto all'asse, dell'elemento dl, non siano costanti.
Che problema c'è? Se sai trovare il campo creato da un anello in un punto dell'asse a distanza $r$ dal piano dell'anello, campo che ha la direzione dell'asse ovviamente, c'è solo da integrare su $r$. I vettori hanno tutti la stessa direzione...
Grazie mille per la risposta e scusa se rispondo solo adesso, ma non avevo attivato la notifica via mail. Comunque mi hai fatto capire che la soluzione c'è l'avevo davanti agli occhi...
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