Campo elettrico lungo l'asse z
Ad un sottile guscio sferico isolante di raggio R = 10 cm è stata rimossa una calotta individuata da un angolo di $\frac{pi}{4}$rispetto all’asse z (vedi figura). La parte restante è carica, per $0 < θ < \frac{pi}{4}$, con densità superficiale incognita $\sigma_0$ e, per$\frac{pi}{4} < θ < \frac{3pi}{4}$, con densità superficiale nota $\sigma_1$ = $3.3 \times 10^{-9} \frac{C}{m^2}$.
Una carica puntiforme $Q = 3.5 \times 10^{-10}C$ è tenuta in equilibrio nel centro della sfera da una molla isolante e neutra, allungata di un tratto pari al raggio R rispetto alla condizione di riposo.
Si ricavi:
a) l’espressione della costante elastica k della molla in funzione di $\sigma_0$,
E altre cose che al momento non mi interessano
Viene fornita questa soluzione:
Ok il procedimento, però non capisco da dove venga fuori $cos(\pi - \theta)$, io avrei messo semplicemente $cos(\theta)$, questo $\pi$ proprio non me lo spiego, è come se gli angoli "avessero origine" dalla parte in cui manca la calotta e girassero in senso antiorario, però per come è definito $\theta$ non si direbbe proprio. Qualcuno sa spiegarmi perchè?
Una carica puntiforme $Q = 3.5 \times 10^{-10}C$ è tenuta in equilibrio nel centro della sfera da una molla isolante e neutra, allungata di un tratto pari al raggio R rispetto alla condizione di riposo.
Si ricavi:
a) l’espressione della costante elastica k della molla in funzione di $\sigma_0$,
E altre cose che al momento non mi interessano
Viene fornita questa soluzione:
Ok il procedimento, però non capisco da dove venga fuori $cos(\pi - \theta)$, io avrei messo semplicemente $cos(\theta)$, questo $\pi$ proprio non me lo spiego, è come se gli angoli "avessero origine" dalla parte in cui manca la calotta e girassero in senso antiorario, però per come è definito $\theta$ non si direbbe proprio. Qualcuno sa spiegarmi perchè?
Risposte
Visto che:
si tratta solo di un espediente per scrivere 2 integrali invece di 3.
$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$
si tratta solo di un espediente per scrivere 2 integrali invece di 3.
Capisco, anche se, per come è orientato z, a me vengono i segni opposti per $E_z$
Se ti riferisci alla sola $\sigma_0$ incognita, hai ragione, non mi ero accorto che è necessariamente negativa. Correggo:
$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z gt 0]$
$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$
No io dicevo anche per l'incognita $\sigma_1$.
Comunque il $cos(\pi - \theta)$ non si poteva dedurre dal fatto che:
$E_z= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r} - \vec{r'})^3}(z - z') dS'$
$E_z (0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r(z=0)} - \vec{r'})^3}(- z') dS'$
Dove con z e $\vec{r}$ sto denotando rispettivamente la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore del punto dove calcoliamo il campo, mentre i simboli con gli apici sono quelli che indicano la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore che mi individuano i punti della superficie della sfera.
Poichè $-z' = -R cos(\theta) =R cos(\pi - \theta) $ in coordinate sferiche e mettendoci sull'asse z (x,y=0) , alla fine si arriverebbe ad integrare quanto riportato nelle soluzioni.
Comunque il $cos(\pi - \theta)$ non si poteva dedurre dal fatto che:
$E_z= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r} - \vec{r'})^3}(z - z') dS'$
$E_z (0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r(z=0)} - \vec{r'})^3}(- z') dS'$
Dove con z e $\vec{r}$ sto denotando rispettivamente la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore del punto dove calcoliamo il campo, mentre i simboli con gli apici sono quelli che indicano la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore che mi individuano i punti della superficie della sfera.
Poichè $-z' = -R cos(\theta) =R cos(\pi - \theta) $ in coordinate sferiche e mettendoci sull'asse z (x,y=0) , alla fine si arriverebbe ad integrare quanto riportato nelle soluzioni.
Intanto, trattandosi di un dato del problema, non mi pare che $\sigma_1$ sia incognita (segno incluso). Inoltre, vista la simmetria cilindrica, eviterei di vederlo a partire dall'integrale superfìciale. Infine, se hai trovato un modo naturale di scrivere la formula con solo 2 integrali, tanto meglio. Al netto di voler giustificare la soluzione riportata, non mi sembra così essenziale. Tra l'altro, visto che il contributo dovuto a $\sigma_1$, per considerazioni di simmetria, era evidentemente nullo, si sarebbe potuto scrivere, da subito, il solo integrale relativo a $\sigma_0$.
Ok hai ragione, comunque io continuo a non vedere i versi dei campi che hai indicato sopra.
Per esempio, i campi generati dalle cariche di densità $\sigma_0$ negativa sono diretti verso la superficie in cui esse risiedono. Ergo, la loro componente lungo z è necessariamente positiva.
Ma quindi devo immaginare questo guscio sferico come una sorta di superficie conica con apertura di angolo $\pi /4$ e il resto come una superficie sferica senza questo cono e senza la parte di sotto?
Non direi. Più semplicemente e come da disegno, la carica è distribuita solo sulla superficie sferica privata della calotta di sinistra.
Allora non capisco proprio come possano essere questi i versi, a meno vengono esattamente opposti (tutti)
"anonymous_0b37e9":
$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$
Nessuno sa rispondere? Sono curioso di capire dove sbaglio
Quello che ti ha già risposto Sergeant Elias, dopo aver considerato che $\sigma_0$ non può che essere negativa, per equilibrare la forza della molla sulla carica Q>0
è corretto, visto che $\sigma_1>0$
Ti ricordo che il campo elettrico relativo alle tre zone sferiche devi consideralo nel centro della sfera.
"anonymous_0b37e9":
$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z gt 0]$
$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$
$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$
è corretto, visto che $\sigma_1>0$
Ti ricordo che il campo elettrico relativo alle tre zone sferiche devi consideralo nel centro della sfera.
Ho provato a fare un disegnino ma non mi sembra che le cose cambino.
Per comodità ho considerato $\sigma_0 > 0$
Certo che non cambiano se ritieni che le le linee di forza del campo elettrico prodotto da una carica positiva convergano verso la carica stessa. 
Ah certo, credo di aver capito, grazie.
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