Campo elettrico lungo l'asse z

Nexus991
Ad un sottile guscio sferico isolante di raggio R = 10 cm è stata rimossa una calotta individuata da un angolo di $\frac{pi}{4}$rispetto all’asse z (vedi figura). La parte restante è carica, per $0 < θ < \frac{pi}{4}$, con densità superficiale incognita $\sigma_0$ e, per$\frac{pi}{4} < θ < \frac{3pi}{4}$, con densità superficiale nota $\sigma_1$ = $3.3 \times 10^{-9} \frac{C}{m^2}$.
Una carica puntiforme $Q = 3.5 \times 10^{-10}C$ è tenuta in equilibrio nel centro della sfera da una molla isolante e neutra, allungata di un tratto pari al raggio R rispetto alla condizione di riposo.
Si ricavi:
a) l’espressione della costante elastica k della molla in funzione di $\sigma_0$,

E altre cose che al momento non mi interessano





Viene fornita questa soluzione:

Ok il procedimento, però non capisco da dove venga fuori $cos(\pi - \theta)$, io avrei messo semplicemente $cos(\theta)$, questo $\pi$ proprio non me lo spiego, è come se gli angoli "avessero origine" dalla parte in cui manca la calotta e girassero in senso antiorario, però per come è definito $\theta$ non si direbbe proprio. Qualcuno sa spiegarmi perchè?

Risposte
anonymous_0b37e9
Visto che:

$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$

si tratta solo di un espediente per scrivere 2 integrali invece di 3.

Nexus991
Capisco, anche se, per come è orientato z, a me vengono i segni opposti per $E_z$

anonymous_0b37e9
Se ti riferisci alla sola $\sigma_0$ incognita, hai ragione, non mi ero accorto che è necessariamente negativa. Correggo:

$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z gt 0]$

$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$

Nexus991
No io dicevo anche per l'incognita $\sigma_1$.
Comunque il $cos(\pi - \theta)$ non si poteva dedurre dal fatto che:
$E_z= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r} - \vec{r'})^3}(z - z') dS'$
$E_z (0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_S \frac{\sigma}{abs( \vec{r(z=0)} - \vec{r'})^3}(- z') dS'$
Dove con z e $\vec{r}$ sto denotando rispettivamente la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore del punto dove calcoliamo il campo, mentre i simboli con gli apici sono quelli che indicano la coordinata sull'asse z e le coordinate del vettore che mi individuano i punti della superficie della sfera.
Poichè $-z' = -R cos(\theta) =R cos(\pi - \theta) $ in coordinate sferiche e mettendoci sull'asse z (x,y=0) , alla fine si arriverebbe ad integrare quanto riportato nelle soluzioni.

anonymous_0b37e9
Intanto, trattandosi di un dato del problema, non mi pare che $\sigma_1$ sia incognita (segno incluso). Inoltre, vista la simmetria cilindrica, eviterei di vederlo a partire dall'integrale superfìciale. Infine, se hai trovato un modo naturale di scrivere la formula con solo 2 integrali, tanto meglio. Al netto di voler giustificare la soluzione riportata, non mi sembra così essenziale. Tra l'altro, visto che il contributo dovuto a $\sigma_1$, per considerazioni di simmetria, era evidentemente nullo, si sarebbe potuto scrivere, da subito, il solo integrale relativo a $\sigma_0$.

Nexus991
Ok hai ragione, comunque io continuo a non vedere i versi dei campi che hai indicato sopra.

anonymous_0b37e9
Per esempio, i campi generati dalle cariche di densità $\sigma_0$ negativa sono diretti verso la superficie in cui esse risiedono. Ergo, la loro componente lungo z è necessariamente positiva.

Nexus991
Ma quindi devo immaginare questo guscio sferico come una sorta di superficie conica con apertura di angolo $\pi /4$ e il resto come una superficie sferica senza questo cono e senza la parte di sotto?

anonymous_0b37e9
Non direi. Più semplicemente e come da disegno, la carica è distribuita solo sulla superficie sferica privata della calotta di sinistra.

Nexus991
Allora non capisco proprio come possano essere questi i versi, a meno vengono esattamente opposti (tutti)
"anonymous_0b37e9":


$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$






Nexus991
Nessuno sa rispondere? Sono curioso di capire dove sbaglio

RenzoDF
Quello che ti ha già risposto Sergeant Elias, dopo aver considerato che $\sigma_0$ non può che essere negativa, per equilibrare la forza della molla sulla carica Q>0
"anonymous_0b37e9":

$[0 lt \theta lt 1/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_0] ^^ [E_z gt 0]$

$[1/4\pi lt \theta lt 1/2\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z lt 0]$

$[1/2\pi lt \theta lt 3/4\pi] rarr [\sigma(\theta)=\sigma_1] ^^ [E_z gt 0]$

è corretto, visto che $\sigma_1>0$

Ti ricordo che il campo elettrico relativo alle tre zone sferiche devi consideralo nel centro della sfera. :wink:

Nexus991

Ho provato a fare un disegnino ma non mi sembra che le cose cambino.
Per comodità ho considerato $\sigma_0 > 0$

RenzoDF
Certo che non cambiano se ritieni che le le linee di forza del campo elettrico prodotto da una carica positiva convergano verso la carica stessa. :-D

Nexus991
Ah certo, credo di aver capito, grazie.

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