Campo elettrico lastra piana
Ciao ho due fili indefiniti paralleli posti a distanza 2d uniformemente carichi con $\lambda $. La direzione dei fili coincide con l’asse z di un sistema di riferimento in cui i due fili sono posizionati sull’asse x del sistema a x=+-d rispettivamente.
Ho trovato la componente y del campo che è $Ey= \lambda /(2 \pi \epsilon)+(y/((x+d)^2 + y^2)+y/((x-d)^2 + y^2)) $ ora "ricavare il campo elettrostatico di una lastra piana uniformemente carica con densità di carica $\sigma $". Qualcuno può aiutarmi?
Ho trovato la componente y del campo che è $Ey= \lambda /(2 \pi \epsilon)+(y/((x+d)^2 + y^2)+y/((x-d)^2 + y^2)) $ ora "ricavare il campo elettrostatico di una lastra piana uniformemente carica con densità di carica $\sigma $". Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Penso che l'esercizio consista nello sfruttare il risultato ottenuto per determinare direttamente il campo della lastra piana senza usare Gauss.
Per far questo si deve considerare la distanza d variabile, la chiamiamo ad es. $d=xi$, e alla densità lineare di carica (che moltiplica e non si somma alla restante espressione) si dovrà sostituire la carica lineare equivalente infinitesima $lambda = sigma d xi$.
A questo punto il campo $E_y$ del piano carico in un punto qualsiasi di coordinate $(x, y)$ con $y ne 0$, sarà dato dall'integrale dell'espressione calcolata per i due fili integrando $xi$ tra $0$ e $+infty$.
Se tutto è corretto dovresti ritrovare il campo della lastra piana.
Per far questo si deve considerare la distanza d variabile, la chiamiamo ad es. $d=xi$, e alla densità lineare di carica (che moltiplica e non si somma alla restante espressione) si dovrà sostituire la carica lineare equivalente infinitesima $lambda = sigma d xi$.
A questo punto il campo $E_y$ del piano carico in un punto qualsiasi di coordinate $(x, y)$ con $y ne 0$, sarà dato dall'integrale dell'espressione calcolata per i due fili integrando $xi$ tra $0$ e $+infty$.
Se tutto è corretto dovresti ritrovare il campo della lastra piana.
Si ho risolto esattamente così grazie. Approfitto per fare un'ultima domanda. Se ho un filo metà carico positivamente e metà negativamente posto lungo l'asse z e con centro nell'origine. Nel piano z=0 per grandi distanze quale sarà il campo?
Supponendo che il filo sia di lunghezza finita $2*l$ e preso un punto su z=0 a distanza $r$ dal centro e con $r text(>>) l$ (se fosse indefinito non ha senso l'ipotesi di considerare il campo per grandi distanze), si possono considerare due elementi opposti simmetrici distanti $2 xi$ come un dipolo di momento infinitesimo $dp = 2*xi*lambda*d xi$.
Il campo $E_z$ sarà banalmente l'integrale del campo del dipolo infinitesimo $dE_z = 1/(4 pi epsilon) (dp)/r^3$ al variare di $xi$ tra $0$ ed $l$.
Se invece il filo è indefinito non si può fare l'approssimazione di dipolo, ma vanno integrati i contributi elementari $dE_z = 1/(4 pi epsilon) (2 xi lambda d xi)/(xi^2+r^2)^(3/2)$.
Nota: i valori di cui sopra sono in modulo. Il segno effettivo va determinato in base alla locazione delle porzioni positive e negative di filo.
Il campo $E_z$ sarà banalmente l'integrale del campo del dipolo infinitesimo $dE_z = 1/(4 pi epsilon) (dp)/r^3$ al variare di $xi$ tra $0$ ed $l$.
Se invece il filo è indefinito non si può fare l'approssimazione di dipolo, ma vanno integrati i contributi elementari $dE_z = 1/(4 pi epsilon) (2 xi lambda d xi)/(xi^2+r^2)^(3/2)$.
Nota: i valori di cui sopra sono in modulo. Il segno effettivo va determinato in base alla locazione delle porzioni positive e negative di filo.
quindi per Ez intendi il campo nel piano xy cioè z=0? Poi il potenziale lungo il piano xy è nullo dato che il prodotto scalare tra P e r è 0, quindi il campo elettrico non dovrebbe essere costante?
Il piano z=0, ovvero il piano xy, è equipotenziale, ma questo non vuol dire che il campo elettrico sia costante (in particolare nullo), ma solo che il campo è perpendicolare al piano in questione. Infatti, essendo V=costante per z=0, le componenti $E_x=-(partial V)/(partial x) $ e $E_y=-(partial V)/(partial y) $ devono essere per forza nulle, ma $E_z=-(partial V)/(partial z) $ dipende da come varia il potenziale al variare di z, fissati x e y, e quindi non è per forza costante.
Come semplice controesempio basta considerare il campo di un dipolo con cariche disposte a $(0,0,xi)$ e $(0,0,-xi)$. Il piano z=0 è a potenziale nullo, ma è facile verificare che la componente $E_z$ del campo non è costante ma varia con la distanza dal centro secondo le formule scritte nel post precedente.
Come semplice controesempio basta considerare il campo di un dipolo con cariche disposte a $(0,0,xi)$ e $(0,0,-xi)$. Il piano z=0 è a potenziale nullo, ma è facile verificare che la componente $E_z$ del campo non è costante ma varia con la distanza dal centro secondo le formule scritte nel post precedente.
esatto è quello che intendevo, le componenti x ed y sono nulle perciò alla domanda del problema "calcola campo nel piano z=0 " la risposta è che le componenti x ed y sono nulle.
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