Campo elettrico interno ad un conduttore
Salve a tutti,
ecco il mio piccolo problema:
ho un conduttore di qualsiasi forma in R3, inizialmente neutro, gli aggiungo delle cariche negative. Dopo qualche istante il tutto diverrà statico trovando il perfetto equilibrio, cioè la densità superficiale tale per cui l'energia potenziale di tutte le cariche sulla superficie è minima (perchè di fatto si respingono e si possono approssimare a particelle dinamiche entro un vincolo unilaterale).
ho un problema a comprendere per quale motivo tutto questo comporti E=0 all'interno di un conduttore.
ecco il mio piccolo problema:
ho un conduttore di qualsiasi forma in R3, inizialmente neutro, gli aggiungo delle cariche negative. Dopo qualche istante il tutto diverrà statico trovando il perfetto equilibrio, cioè la densità superficiale tale per cui l'energia potenziale di tutte le cariche sulla superficie è minima (perchè di fatto si respingono e si possono approssimare a particelle dinamiche entro un vincolo unilaterale).
ho un problema a comprendere per quale motivo tutto questo comporti E=0 all'interno di un conduttore.
Risposte
Appunto, quindi perché il discorso che $vec E = 0$ non dovrebbe valere?
Non capisco. Secondo te, se in un punto non ci sono cariche, allora in quel punto il campo elettrico è nullo per forza?
Certo che no, ci mancherebbe, non esisterebbe nemmeno il campo elettrico sennò...
Però non capisco perché la presenza della cavità all'interno del conduttore dovrebbe invalidare il discorso secondo il quale il campo all'interno del conduttore è nullo... cioè anche se abbiamo una cavità, il fatto che $vec E = 0$ all'interno del conduttore non deve venir meno in quanto vale sempre il discorso che se fosse non nullo le cariche libere sarebbero in movimento.
Però non capisco perché la presenza della cavità all'interno del conduttore dovrebbe invalidare il discorso secondo il quale il campo all'interno del conduttore è nullo... cioè anche se abbiamo una cavità, il fatto che $vec E = 0$ all'interno del conduttore non deve venir meno in quanto vale sempre il discorso che se fosse non nullo le cariche libere sarebbero in movimento.
non è questione di invalidare.. le cariche possono comunque distribuirsi affinchè la somma dei campi elettrici sia 0... ma non è l'unica possibilità.. possono disporsi anche per fare in modo che in quella cavità ci sia il campo elettrico mentre invece non ci sia unicamente dove vi sono riposte le cariche (sempre nel nostro caso) cioè nella superficie.... ma evidentemente sono due problemi ben distinti e forse entrambi producono risultati diversi come distribuzione di carica... solo che il vero motore trainante di tutto questo dovrebbe essere minimizzazione energia potenziale... che evidentemente risulta diversa nei due casi e nel primo caso, l'energia risulta obbligatorio avere E=0 per il fatto delle correnti, nel secondo no... non è "obbligatorio" anche se mi viene da pensare.. ma allora a questo punto abbiamo due soluzioni possibili per il secondo caso, quella che produce interamente dentro il volume E=0 come per il caso conduttore, e quella che invece produce E=0 solo sulla superficie... ma è strano che ci siano due possibili minimizzazioni delle energie potenziali... molto probabilmente c'è n'è una sola... probabilmente non esiste quella con E diverso da 0 dentro... ma non ho nessuna dimostrazione...
Scusa maxspyderweb non ti seguo, cioè non capisco quale sia la domanda o il dubbio preciso
che ci siano 2 possibili soluzioni di staticità nel caso con cavità dentro...
L'unica soluzione prevede $vec E = 0$ nella cavità. Si può dimostrare in due modi diversi: un modo "fisico" ma meno rigoroso, sulla stessa linea delle considerazioni che si fanno per dimostrare le proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico, un modo "matematico" e assolutamente rigoroso. Se vuoi te ne parlo.
mi piacerebbe moltissimo anche perchè non avrei idea di come impostare il problema per superfici qualsiasi.. ^^ ti ringrazio molto per la semplice sfera imposterei l'angolo solido ed è facile mostrare che le superfici sono proporzionali a r^2 come per il campo elettrico quindi con la sfera è un caso semplice... ma i più complicati? In pratica mi piacerebbe si arrivasse a dimostrare la testi Energia potenziale minima di cariche su una superficie significa E=0 entro il volume racchiuso dalla superficie stessa.
Le dimostrazioni di cui parlo non fanno riferimento all'energia potenziale. La dimostrazione "fisica" si trova sull'Amaldi, il testo di elettromagnetismo di livello universitario. Prendi una superficie interna al conduttore, la superficie è costituita da punti nei quali il conduttore è "pieno", che comprenda la cavità. Siccome il campo elettrico è nullo dove il conduttore è pieno, qui il ragionamento per assurdo è perfettamente valido, il flusso del campo elettrico è nullo e quindi nulla la somma algebrica delle cariche interne alla superficie. Quindi, se cariche fossero presenti sulla superficie interna che si affaccia sulla cavità, la loro somma dovrebbe essere nulla. Allora esisterebbe una parte di superficie in cui si affacciano sia cariche positive che negative, verosimilmente, e qui il rigore non è più assoluto, si avrebbero delle linee di forza nella cavità uscenti dalle positive ed entranti nelle negative. Prendendo una di queste ipotetiche linee di forza, posso chiuderla utilizzando una parte di linea costituita da punti dove il conduttore è pieno e il campo elettrico è nullo. Questa linea allora, avrebbe campo nullo dove il conduttore è "pieno" e campo tangente con lo stesso verso, dalle positive alle negative, dove c'è la cavità. Arriviamo finalmente all'assurdo, in quanto la circuitazione del campo elettrico non potrebbe essere nulla lungo questa linea, contro l'ipotesi che il campo sia conservativo.
"maxspyderweb":
...ma allora a questo punto abbiamo due soluzioni possibili per il secondo caso, quella che produce interamente dentro il volume E=0 come per il caso conduttore, e quella che invece produce E=0 solo sulla superficie...
In questa seconda soluzione che ipotizzi, puoi descrivere come dovrebbero essere disposte le cariche o i campi elettrici? Perché vedrai che arriverai a contraddire la legge di Gauss
ok il ragionamento mi soddisfa in parte, perchè tiene comunque conto di una parte conduttrice, io parlo come di una simulazione in cui gli dici a una manciata di particelle, bene voi vi respingete così e cosà e non potende andare oltre questi confini che sono il volume.. queste si muovicchiano un po' fino a che tutto tace.. e U è minimizzata.. pazzesco ma il campo prodotto all'interno è 0.. ecco.. questo mi interessa senza nessuna assunzione che in conduttori E=0 perchè sennò ci sono correnti... (faccio fisica) posso fare lo stesso ragionamento portando il volume conduttore alla sola superficie.. mentre la cavità la espando fino alla superficie.. il ragionamento dovrebbe valere... però boh mi sembra un modello strano.. comunque mi sono convinto.. grazie a tutti e due delle risposte... vi devo molto (anche per la pazienza)!
Scusa ma, il fatto che la distribuzione di carica che minimizza l'energia potenziale renda il campo elettrico nullo all'interno della superficie, vale proprio perchè siamo in presenza di un conduttore. Come puoi allora rammaricarti della presenza di un conduttore?
perchè nel conduttore c'è la fregatura che se E diverso da 0 c'è una corrente..
Allora prendiamo un isolante, così il campo può essere diverso da zero anche in condizioni elettrostatiche. Quale sarebbe adesso il tuo problema?
"maxspyderweb":
non è questione di invalidare.. le cariche possono comunque distribuirsi affinchè la somma dei campi elettrici sia 0... ma non è l'unica possibilità.. possono disporsi anche per fare in modo che in quella cavità ci sia il campo elettrico mentre invece non ci sia unicamente dove vi sono riposte le cariche (sempre nel nostro caso) cioè nella superficie....
Forse non ho capito esattamente i termini del problema; da quello che ho capito, siamo nella situazione in cui c'e' una superficie equipotenziale, e all'interno non c'e' carica elettrica. Il potenziale scalare e' armonico (rispetta eq. di Laplace), ed essendo costante sul bordo del dominio (sup. equipotenziale) e' una costante anche all'interno (principio del massimo). Questo vale sia nel conduttore sia nel vuoto, purche' il dominio sia compatto e il suo bordo sia equipotenziale.
Sbaglio?
bye^2, mr
yoshiharu, hai appena spiegato il concetto in termini matematici e rigorosi, la seconda dimostrazione di cui parlavo in un messaggio precedente.
Ti faccio i miei complimenti.
Ti faccio i miei complimenti.
hey hey frena =P "ed essendo costante sul bordo del dominio (sup. equipotenziale) e' una costante anche all'interno (principio del massimo)." Spiega
"Questo vale sia nel conduttore sia nel vuoto, purche' il dominio sia compatto e il suo bordo sia equipotenziale. " proprio quello che mi interessa...
"Questo vale sia nel conduttore sia nel vuoto, purche' il dominio sia compatto e il suo bordo sia equipotenziale. " proprio quello che mi interessa...
"maxspyderweb":
hey hey frena =P "ed essendo costante sul bordo del dominio (sup. equipotenziale) e' una costante anche all'interno (principio del massimo)." Spiega
E' un teorema sulle funzioni armoniche.
Il potenziale elettrico ha il laplaciano nullo all'interno del dominio, non essendoci cariche. Una funzione regolare reale col laplaciano nullo (armonica), all'interno di un dominio compatto (diciamo chiuso e limitato) raggiunge sulla frontiera del dominio il massimo e il minimo. E' il teorema detto "principio del massimo" per le funzioni armoniche. Se sulla frontiera la funzione e' costante, allora il massimo coincide col minimo, per cui questa e' costante su tutto il dominio.
"Questo vale sia nel conduttore sia nel vuoto, purche' il dominio sia compatto e il suo bordo sia equipotenziale. " proprio quello che mi interessa...
Conduttore/vuoto/niente cariche ==> potenziale armonico (eq. di Laplace con sorgente nulla)
Conduttore/conduttore cavo ==> la frontiera del dominio e' una superficie equipotenziale
Ergo, il teorema di cui sopra si applica, e festa finita.
Nota che anche in un post precedente, speculor ha sintetizzato il ragionamento che c'e' sul libro di Amaldi, e che e' (credo) una riscrittura in termini fisici della dimostrazione del teorema del massimo.
Il caso artificiale delle cariche limitate in un volume e' un po' strano, perche' dipende dal meccanismo con cui confini le cariche (non e' detto che sia una superficie equipotenziale la frontiera del dominio).
bye^2, mr
GRAZIE MILLE ^^ non ne hanno accennato neanche una minima parte, neanche il nome a lezione... !!! GRAZIE!
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