Campo elettrico indotto da campo magnetico variabile
All'interno di un solenoide infinito di raggio \(\displaystyle R = 0.1m \) vi è un campo magnetico \(\displaystyle B = 5t T \) uniforme diretto verso l'asse Z positivo che aumenta linearmente nel tempo.
Esternamente al solenoide il campo magnetico è nullo.
Calcolare:
1) Il campo elettrico indotto E (sia internamente che esternamente al solenoide)
Valutrane le componenti in P(R,0,0)
2) Calcolare il rotore di E internamente ed esternamente al solenoide. Il campo risulta conservativo?
Primo punto
Calcolo la fem indotta
\(\displaystyle \varepsilon =
{-\frac{\mathrm{d} \phi_B }{\mathrm{d} t}} =
{-\frac{\mathrm{d} (5t\cdot \pi R^2) }{\mathrm{d} t}} = -0.15V \)
ma a questo punto mi chiedo come andare avanti... avevo pensato di usare la formula
\(\displaystyle \varepsilon = \int Edl \) ma derivando ambo i membri ottengo \(\displaystyle E = \frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} l} = 0 \)
Che, ammesso sia giusto il procedimento, non avrebbe senso poi chiedere di valutarne le componenti in P e di calcolarne il rotore...
Consigli?
Grazie in anticipo.
Esternamente al solenoide il campo magnetico è nullo.
Calcolare:
1) Il campo elettrico indotto E (sia internamente che esternamente al solenoide)
Valutrane le componenti in P(R,0,0)
2) Calcolare il rotore di E internamente ed esternamente al solenoide. Il campo risulta conservativo?
Primo punto
Calcolo la fem indotta
\(\displaystyle \varepsilon =
{-\frac{\mathrm{d} \phi_B }{\mathrm{d} t}} =
{-\frac{\mathrm{d} (5t\cdot \pi R^2) }{\mathrm{d} t}} = -0.15V \)
ma a questo punto mi chiedo come andare avanti... avevo pensato di usare la formula
\(\displaystyle \varepsilon = \int Edl \) ma derivando ambo i membri ottengo \(\displaystyle E = \frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} l} = 0 \)
Che, ammesso sia giusto il procedimento, non avrebbe senso poi chiedere di valutarne le componenti in P e di calcolarne il rotore...
Consigli?
Grazie in anticipo.
Risposte
Le linee di campo E sono circonferenze coassiali con il solenoide, per simmetria, e la f.e.m. indotta rappresenta la circuitazione di E lungo il percorso, per cui $epsi = 2piR*E$ . Cosa tiri in ballo a fare integrali e derivate?
Scusa ma hai calcolato il flusso attraverso una spira oppure un solenoide?non dovresti moltiplicare per il numero di spire?
"mgrau":
Le linee di campo E sono circonferenze coassiali con il solenoide, per simmetria, e la f.e.m. indotta rappresenta la circuitazione di E lungo il percorso, per cui $epsi = 2piR*E$ . Cosa tiri in ballo a fare integrali e derivate?
Mhm... ho un paio di domande
Appurato che la formula è \(\displaystyle \varepsilon = \oint Edl \) ciò che tu in pratica hai fatto è stato portare E fuori dal segno di integrale e quindi \(\displaystyle \varepsilon = E\oint dl = 2\pi R\cdot E \)
1) Domanda molto sciocca, ma per portare E fuori dall'integrale devi prima assicurarti che sia uniforme. Tu come lo sai? E' una (ovvia) conseguenza del fatto che B è uniforme?
2) Perchè non posso applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, come ho fatto io? Cosa c'è che non va nel derivare ambo i membri in \(\displaystyle dl \)?
"Brufus":
Scusa ma hai calcolato il flusso attraverso una spira oppure un solenoide?non dovresti moltiplicare per il numero di spire?
Hai ragione
ma è un solenoide infinito... quindi mi sa che non era una strada da praticare quella di usare Faraday-LenzA questo punto l'espressione \(\displaystyle \varepsilon = 2\pi R\cdot E \) presenta ben due incognite!
Il calcolo formale che hai fatto è totalmente sballato. L'integrale che compare nella formula è un'integrale curvilineo, non un integrale indefinito.il simbolo $dl $ è solo un oggetto tipografico privo di significato.
1) Per la simmetria del sistema
2) Questo non te lo so dire, a parte il fatto che non capisco cosa rappresenta $(depsi)/(dl)$ nè perchè dovrebbe essere zero. E diciamo che in genere non vedo il senso di cercare le strade difficili quando ci sono quelle facili
2) Questo non te lo so dire, a parte il fatto che non capisco cosa rappresenta $(depsi)/(dl)$ nè perchè dovrebbe essere zero. E diciamo che in genere non vedo il senso di cercare le strade difficili quando ci sono quelle facili
"Brufus":
L'integrale che compare nella formula è un'integrale curvilineo, non un integrale indefinito.il simbolo $dl $ è solo un oggetto tipografico privo di significato.
Mi piacerebbe davvero una spiegazione più approfondita, se possibile... qualche riferimento, articolo... mi confonde questa cosa
"mgrau":
a parte il fatto che non capisco cosa rappresenta $(depsi)/(dl)$ nè perchè dovrebbe essere zero.
Perchè applicando Faraday-Lenz mi veniva che la fem era 0.15V ... dunque la derivata di una costante è zero.
Ma a quanto pare, essendo un solenoide infinito, non posso neanche applicarla più... che si fa?
"mgrau":
E diciamo che in genere non vedo il senso di cercare le strade difficili quando ci sono quelle facili
beh se quelle "più facili" mi venissero in mente non percorrerei quelle più difficili
[size=85](che poi difficile è relativo, mi trovo molto più a mio agio con la matematica che a dover capire che diavolo di formula applicare...)[/size]
$int_gamma omega = int_gamma vec F cdot vec dl= int_a^b F_1 (x (t),y(t)) x^{\prime}(t)+F_2(x(t),y(t)) y^{\prime}(t) dt$
Ora gli integrali a sinistra sono solo simboli tipografici, quello a destra è l'integrale di Riemann che ben conosci
Ora gli integrali a sinistra sono solo simboli tipografici, quello a destra è l'integrale di Riemann che ben conosci
In ogni caso il solenoide è solo una distrazione.Tu hai un campo magnetico uniforme all'interno di un cilindro.Quindi ti calcoli il flusso attraverso un cerchio.Quindi i calcoli di mgrau sono giusti.
Per il rotore usa l'equazione di maxwell $ rot (vec E(vec x,t))=- frac {partial}{partial t} vec B(vec x,t) $
Voglio comunque tentare di fugarti ulteriori dubbi.
Quando scrivi $int E cdot dl $ sappi che stai scrivendo una cosa sbagliata. Infatti il campo elettrico è un vettore $vec E $ mentre se scrivi $E $ lasci intendere che vuoi descrivere solo il suo modulo.Ora in analisi esistono vari tipi di integrali e si denotano con simboli tipografici diversi. Se $f: R rightarrow R $allora su un'intervallo$ [a,b] $la scrittura $int_a^b f (x)dx $ rappresenta l'integrale definito di Riemann per il quale vale il teorema fondamentale del calcolo.In questo ambiente ha senso fare la derivata che vorresti $ frac {d}{dx}int_a^x f (t)dt= f (x) $.Questo ovviamente se $f $ è quantomeno limitata. Inoltre esistono altri tipi di integrali tra cui gli integrali di forme differenziali che tra le altre cose racchiudono l'integrale precedente come caso banale. Senza entrare in dettagli che richiederebbero un corso, questi nuovi integrali si scrivono $int_gamma omega $ dove $omega$ è appunto la forma differenziale e $gamma $ è il sostegno di una curva su cui calcoliamo l'integrale.Per un fisico $omega $ rappresenta il lavoro elementare che compie una forza $vec F $ lungo un tratto infinitesimale di curva $vec dx $ mentre per un matematico $omega =vec F cdot vec dx= F_1dx+F_2dy$ rappresenta una sezione del fibrato cotangente (che poi è l'unica vera definizione).Ora il punto della questione è il seguente:se interpreti $omega$ come i fisici prima o poi ti ritrovi spaesato come lo sei tu ora perché utilizzi calcoli formali tipografici privi di ogni senso.
Volendo fare le cose fatte bene ora ti mostro perché $E $ esce fuori da quell'integrale di prima.
Prima di tutto tu sai che $vec E $ è tangente al sostegno della curva gamma cioè è parallelo al vettore tangente$ dot vec x$ ovverosia $ vec E(t)= lambda (dot x(t),dot y(t)) $ed ora supponendo che il sostegno di $gamma $sia parametrizzato da $vec gamma (t)=(x (t),y (t)) t in [a,b] $ avremo in virtù della definizione che ti ho scritto nell'altro messaggio $int_gamma omega= int_a^b E_1(x (t),y (t))dot x (t)+E_2 (x (t),y (t))dot y dt=int_a^b lambda ((dot x)^2+(dot y)^2)dt = lambda sqrt {dot x^2+dot y^2}int_a^b frac {dot x^2+dot y^2}{sqrt {dot x^2+dot y^2}}dt = E int_a^b |vec dot gamma| dt $ dove l'ultimo integrale è la definizione di lunghezza di una curva.Pertanto chiamando $L (gamma) $la lunghezza della curva parametrizzata da $vec gamma (t) $ abbiamo dimostrato che nel caso in cui il campo vettoriale è tangente alla curva vale l'espressione $int_gamma omega= int_gamma vec E cdot vec dx = E int_a^b |vec dot gamma| dt =E cdot L (gamma) $ cosa che un fisico riassume scrivendo cose senza alcun senso tipo $int_gamma vec E cdot vec dx= vec E cdot int_gamma vec dx=.... $.
Spero di esserti stato utile
Quando scrivi $int E cdot dl $ sappi che stai scrivendo una cosa sbagliata. Infatti il campo elettrico è un vettore $vec E $ mentre se scrivi $E $ lasci intendere che vuoi descrivere solo il suo modulo.Ora in analisi esistono vari tipi di integrali e si denotano con simboli tipografici diversi. Se $f: R rightarrow R $allora su un'intervallo$ [a,b] $la scrittura $int_a^b f (x)dx $ rappresenta l'integrale definito di Riemann per il quale vale il teorema fondamentale del calcolo.In questo ambiente ha senso fare la derivata che vorresti $ frac {d}{dx}int_a^x f (t)dt= f (x) $.Questo ovviamente se $f $ è quantomeno limitata. Inoltre esistono altri tipi di integrali tra cui gli integrali di forme differenziali che tra le altre cose racchiudono l'integrale precedente come caso banale. Senza entrare in dettagli che richiederebbero un corso, questi nuovi integrali si scrivono $int_gamma omega $ dove $omega$ è appunto la forma differenziale e $gamma $ è il sostegno di una curva su cui calcoliamo l'integrale.Per un fisico $omega $ rappresenta il lavoro elementare che compie una forza $vec F $ lungo un tratto infinitesimale di curva $vec dx $ mentre per un matematico $omega =vec F cdot vec dx= F_1dx+F_2dy$ rappresenta una sezione del fibrato cotangente (che poi è l'unica vera definizione).Ora il punto della questione è il seguente:se interpreti $omega$ come i fisici prima o poi ti ritrovi spaesato come lo sei tu ora perché utilizzi calcoli formali tipografici privi di ogni senso.
Volendo fare le cose fatte bene ora ti mostro perché $E $ esce fuori da quell'integrale di prima.
Prima di tutto tu sai che $vec E $ è tangente al sostegno della curva gamma cioè è parallelo al vettore tangente$ dot vec x$ ovverosia $ vec E(t)= lambda (dot x(t),dot y(t)) $ed ora supponendo che il sostegno di $gamma $sia parametrizzato da $vec gamma (t)=(x (t),y (t)) t in [a,b] $ avremo in virtù della definizione che ti ho scritto nell'altro messaggio $int_gamma omega= int_a^b E_1(x (t),y (t))dot x (t)+E_2 (x (t),y (t))dot y dt=int_a^b lambda ((dot x)^2+(dot y)^2)dt = lambda sqrt {dot x^2+dot y^2}int_a^b frac {dot x^2+dot y^2}{sqrt {dot x^2+dot y^2}}dt = E int_a^b |vec dot gamma| dt $ dove l'ultimo integrale è la definizione di lunghezza di una curva.Pertanto chiamando $L (gamma) $la lunghezza della curva parametrizzata da $vec gamma (t) $ abbiamo dimostrato che nel caso in cui il campo vettoriale è tangente alla curva vale l'espressione $int_gamma omega= int_gamma vec E cdot vec dx = E int_a^b |vec dot gamma| dt =E cdot L (gamma) $ cosa che un fisico riassume scrivendo cose senza alcun senso tipo $int_gamma vec E cdot vec dx= vec E cdot int_gamma vec dx=.... $.
Spero di esserti stato utile
Il modulo della fem è \(\displaystyle \varepsilon = 2\pi R \cdot E \) dunque \(\displaystyle E = \frac{\varepsilon}{2\pi R} \) che è un valore che non dipende da nulla, nel dal tempo ne dallo spazio.
Dunque quando mi chiede di valutare E in P(R,0,0) non ha molto senso...
Che è immediato, è uguale a -5 e risulta il campo elettrico non conservativo
Lo so lo so! Solo che mi viene malissimo: \(\displaystyle \underset{E}{\rightarrow} \) e non sapendo farla meglio metto direttamente E per pigrizia/estetica
Però ho rubato il tuo codice e ora lo so fare
$vec E $ $vec E $ $vec E $ $vec E $
[size=85]ma il mio editor non lo supporta quindi probabilmente me ne dimenticherò[/size]
Ti ringrazio infinitamente! Sei stato chiarissimissimo
Dunque quando mi chiede di valutare E in P(R,0,0) non ha molto senso...
"Brufus":
Per il rotore usa l'equazione di maxwell $ rot (vec E(vec x,t))=- frac {partial}{partial t} vec B(vec x,t) $
Che è immediato, è uguale a -5 e risulta il campo elettrico non conservativo
"Brufus":
Quando scrivi $int E cdot dl $ sappi che stai scrivendo una cosa sbagliata. Infatti il campo elettrico è un vettore $vec E $ mentre se scrivi $E $ lasci intendere che vuoi descrivere solo il suo modulo.
Lo so lo so! Solo che mi viene malissimo: \(\displaystyle \underset{E}{\rightarrow} \) e non sapendo farla meglio metto direttamente E per pigrizia/estetica
Però ho rubato il tuo codice e ora lo so fare
$vec E $ $vec E $ $vec E $ $vec E $[size=85]ma il mio editor non lo supporta quindi probabilmente me ne dimenticherò[/size]
"Brufus":
Volendo fare le cose fatte bene ora ti mostro perché $E $ esce fuori da quell'integrale di prima.
Prima di tutto tu sai che $vec E $ è tangente al sostegno della curva gamma cioè è parallelo al vettore tangente$ dot vec x$ ovverosia $ vec E(t)= lambda (dot x(t),dot y(t)) $ed ora supponendo che il sostegno di $gamma $sia parametrizzato da $vec gamma (t)=(x (t),y (t)) t in [a,b] $ avremo in virtù della definizione che ti ho scritto nell'altro messaggio $int_gamma omega= int_a^b E_1(x (t),y (t))dot x (t)+E_2 (x (t),y (t))dot y dt=int_a^b lambda ((dot x)^2+(dot y)^2)dt = lambda sqrt {dot x^2+dot y^2}int_a^b frac {dot x^2+dot y^2}{sqrt {dot x^2+dot y^2}}dt = E int_a^b |vec dot gamma| dt $ dove l'ultimo integrale è la definizione di lunghezza di una curva.Pertanto chiamando $L (gamma) $la lunghezza della curva parametrizzata da $vec gamma (t) $ abbiamo dimostrato che nel caso in cui il campo vettoriale è tangente alla curva vale l'espressione $int_gamma omega= int_gamma vec E cdot vec dx = E int_a^b |vec dot gamma| dt =E cdot L (gamma) $ cosa che un fisico riassume scrivendo cose senza alcun senso tipo $int_gamma vec E cdot vec dx= vec E cdot int_gamma vec dx=.... $.
Spero di esserti stato utile
Ti ringrazio infinitamente! Sei stato chiarissimissimo
"DeltaEpsilon":
Il modulo della fem è \(\displaystyle \varepsilon = 2\pi R \cdot E \) dunque \(\displaystyle E = \frac{\varepsilon}{2\pi R} \) che è un valore che non dipende da nulla, nel dal tempo ne dallo spazio.
Dunque quando mi chiede di valutare E in P(R,0,0) non ha molto senso...
Veramente dipende eccome. La f.e.m. lungo una circonferenza di raggio R ha quel valore, ma se prendi un punto a differente distanza dal centro, trovi in valore diverso. Quindi chiedere di valutare E in P ha abbastanza senso...
BTW, se tu pensi che E sia costante dappertutto (suppongo), che direzione pensavi che avesse?
Benissimo, quindi quando calcolo il rotore in pratica devo considerare solo la derivata rispetto a R che in realtà poi si estende sull'asse delle x?
Il rotore che intendo nella mia formula è scritto in coordinate cartesiane.Se usi $R $ sei passato in cilindriche.In ogni caso deriva $vec B $ rispetto al tempo e trovi il rotore.
Grazie infinite a entrambi! 
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