Campo elettrico in una sfera
Ciao, ho qualche dubbio sulla risoluzione del seguente esercizio.
Una sfera carica di densità uniforme $\rho $ e raggio $ R $ ha al suo interno
due cavità di raggio $ R1 $ centrate nei punti di coordinate $ (0,d) $ e $ (d,0) $. ( $ \rho $, $ R $, $ R1 $ e $ d $ sono dati)
Calcolare:
a) La carica totale contenuta nella sfera di raggio $ R $
b) Il vettore campo elettrico nel punto di coordinate $ P=(-d,-d) $.
(La figura é questa https://ibb.co/PgJxzX8)
Sul primo punto non credo di avere problemi: $ Q=\rho π 4/3 (R³-2R1³) $.
Non sono sicuro di come va fatto il secondo, io ho provato così, $ Ex=Ey= -\rho d / 3\epsilon + \rhoR1³ / 3\epsilon d² $
Spero che le scritture siano corrette e chiare, qualcuno può dirmi se ho sbagliato in qualche punto e perché?
Grazie.
Una sfera carica di densità uniforme $\rho $ e raggio $ R $ ha al suo interno
due cavità di raggio $ R1 $ centrate nei punti di coordinate $ (0,d) $ e $ (d,0) $. ( $ \rho $, $ R $, $ R1 $ e $ d $ sono dati)
Calcolare:
a) La carica totale contenuta nella sfera di raggio $ R $
b) Il vettore campo elettrico nel punto di coordinate $ P=(-d,-d) $.
(La figura é questa https://ibb.co/PgJxzX8)
Sul primo punto non credo di avere problemi: $ Q=\rho π 4/3 (R³-2R1³) $.
Non sono sicuro di come va fatto il secondo, io ho provato così, $ Ex=Ey= -\rho d / 3\epsilon + \rhoR1³ / 3\epsilon d² $
Spero che le scritture siano corrette e chiare, qualcuno può dirmi se ho sbagliato in qualche punto e perché?
Grazie.
Risposte
Direi che per il secondo punto dovresti, tanto per cominciare, correggere gli errori di scrittura della relazione, visto che scritta in quel modo è già dimensionalmente errata, e poi magari spiegarci anche come l'hai ottenuta.
Non capisco come, una volta schiacciato il pulsante Invia, non vi venga la curiosità di vedere l'aspetto del vostro post, specie se contiene relazioni in codice LaTeX.
Visto che avevo un po' di tempo da perdere, ipotizzando $R\lt \sqrt{2}d$, come sembrerebbe confermare la (seppur imprecisa) geometria fornita dal problema, direi che
"Zzxz":
... Spero che le scritture siano corrette e chiare ...
Non capisco come, una volta schiacciato il pulsante Invia, non vi venga la curiosità di vedere l'aspetto del vostro post, specie se contiene relazioni in codice LaTeX.
Visto che avevo un po' di tempo da perdere, ipotizzando $R\lt \sqrt{2}d$, come sembrerebbe confermare la (seppur imprecisa) geometria fornita dal problema, direi che
Grazie dell'aiuto, ma non ho capito perché il secondo termine é così. Io lho scritto in questo modo: $ \rho R³ / 3 \epsilon 4 d² $, considerando il campo di una sfera per $ r>R $ e $ 2d $ come distanza dal punto.
Premesso che la distanza dei centri delle cavità sferiche dal punto P non è 2d, vedo che hai ignorato il consiglio che ti ho dato.
Chiedo scusa, nel messaggio di prima ho scritto male la formula purtroppo non sono pratico e non mi fa vedere il messaggio appena scritto ( mi dice che deve essere approvato da un moderatore) . Per il secondo termine, io avrei scritto $ \cfrac{\rho R³}{3 \epsilon 4d²} $ (sperando che questa volta sia riuscito a scrivere bene). Potrei sapere come si arriva al termine corretto e perché 2d non é la distanza tra il centro di una sfera e P?
Grazie infinite
Grazie infinite
"Zzxz":
... perché 2d non é la distanza tra il centro di una sfera e P?
Semplicemente perché il punto P ha coordinate (-d,-d), e i centri delle sfere (d,0) e (0,d), ne segue che la distanza di entrambi i centri della cavità da P sarà \(\sqrt{5}\ d\).
Ovviamente i campi dovuti alle due sfere virtualmente cariche negativamente, dovranno poi essere: o sommati vettorialmente a quello della sfera carica positivamente, oppure, come hai fatto tu, scomposti nelle componenti lungo i due assi x e y [nota]Più semplice dal punto di vista analitico.[/nota], per ottenere infine le due componenti complessive via somma delle tre componenti parziali.
Lascio a te provare ad ottenere il risultato che ti ho indicato.
Ho capito che la distanza tra $ P $ e il centro di una sfera più piccola é $ \sqrt{5} d² $, però non arrivo comunque alla scrittura corretta. Il secondo termine, considerando il campo all'esterno di una sfera, mi viene uguale a $ \frac{\rho R1³}{3 \epsilon 5d²} $. Dove sbaglio? Perché nella formula da lei scritta prima non compare il $ 3 $ al denominatore e compare $ \sqrt{5³} d² $?
Quello da te indicato (correttamente) è il modulo del campo in P relativo ad una sola cavità, ma come dicevo, una volta determinato quel campo, diciamo E1 (per la prima sfera) devi scomporlo lungo x e y, componenti che per la seconda sfera vengono a scambiarsi e che, con riferimento alla figura,
potrai facilmente ottenere osservando che seno e coseno di $\theta$ sono dati dal rapporto fra i cateti e l'ipotenusa del triangolo rettangolo rosso, ne segue che il contributo complessivo lungo x delle due cavità sarà
$E_x=E_{1x}+E_{2x}=\frac{\rho R_1^3}{3\epsilon 5 d^2}(\cos\theta+sin\theta)=\frac{\rho R_1^3}{3\epsilon 5 d^2}(\frac{1}{\sqrt 5 }+\frac{2}{\sqrt 5 })=\frac{\rho R_1^3}{5\sqrt{5} \epsilon d^2} $
e parimenti quello lungo y.
BTW Qui non c'è nessun "lei", siamo tutti "tu".
potrai facilmente ottenere osservando che seno e coseno di $\theta$ sono dati dal rapporto fra i cateti e l'ipotenusa del triangolo rettangolo rosso, ne segue che il contributo complessivo lungo x delle due cavità sarà
$E_x=E_{1x}+E_{2x}=\frac{\rho R_1^3}{3\epsilon 5 d^2}(\cos\theta+sin\theta)=\frac{\rho R_1^3}{3\epsilon 5 d^2}(\frac{1}{\sqrt 5 }+\frac{2}{\sqrt 5 })=\frac{\rho R_1^3}{5\sqrt{5} \epsilon d^2} $
e parimenti quello lungo y.
BTW Qui non c'è nessun "lei", siamo tutti "tu".
Grazie mille dell'aiuto!
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