Campo elettrico in un dielettrico

[giuseppe.b_02]

Salve a tutti. Ho un altro problema di elettrostatica da proporvi.
Come si vede dalla foto questa volta ho una lastra carica e una scarica, ed é inoltre presente un dielettrico. Ora la lastra scarica dovrebbe venire polarizzata da quella carica, ma dato che in teoria si formano due distribuzioni di carica che creano due campi che in ogni regione si annullano a vicenda, posso anche non considerarla almeno nel primo punto giusto?
Quindi ho calcolato i vari E,D e P
(dividendo la regione in 5, dove la 1 é quella completamente a sx e la 4 é interna al dielettrico)
$ E_(1,2)=-sigma/(2epsi_0) $
$ E_(3,5)=sigma/(2epsi_0) $
$ E_4=sigma/(2epsi_0)-sigma_p/epsi_0=((2-epsi_r)sigma)/(2epsi_0epsi_r) $
In particolare ho dubbi su quest'ultimo, non avendo le soluzioni non capisco se é corretto.
$ sigma_p $ é la densita di carica di polarizzazione del dielettrico é $ epsi_r$ é la k che da il problema.

[ingres]

Per legare i campi puoi usare il fatto che deve risultare tra 2 mezzi la conservazione della componente normale di $vec D$ e quindi tra aria e dielettrico vale la seguente condizione:

$D_3 =D_4$

La condizione deriva direttamente dal T. di Gauss osservando che trattandosi di dielettrici non hai una densità superficiale di carica (a meno che non venga esplicitamente indicata). Quindi preso un parallelepipedo tra 2d-x e 2d +x con x<< $delta$ e con facce molto estese e non essendoci cariche libere all'interno segue la relazione sopra.

[giuseppe.b_02]

Ma questa cosa vale anche tra vuoto e dielettrico?
Il campo elettrico 4 lo avevo calcolato considerando il campo generato dalla lastra e sottraendo a quest'ultimo il campo generato dalla polarizzazione del dielettrico. Nel mio libro trovo scritto che:
$ sigma_p/epsi_0=((epsi_r-1)/epsi_r)sigma/epsi_0 $
E quindi trovo la formula che ho scritto sopra per E4.
Facendo invece come mi hai consigliato trovo:
$ sigma/(2epsi_0)epsi_0=E_4epsi_0epsi_r $
e quindi $ E_4=sigma/(2epsi_0epsi_r) $

[ingres]

"giuseppe.b_02":Ma questa cosa vale anche tra vuoto e dielettrico?

Si, formalmente la differenza tra le componenti normali di D è data dalla distribuzione di carica libera superficiale e vale per tutte le superfici di separazione e quindi anche per il vuoto e anche per i conduttori (dove effettivamente c'è una distribuzione di carica libera superficiale) e deriva direttamente dalla prima equazione di Maxwell.
Quanto alla formula che riporti, questa usa le cariche di polarizzazione (e quindi poi bisogna tener conto anche della densità volumetrica delle stesse) e non le cariche libere. Per capire bene la differenza puoi veder qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Polarizzazione_elettrica

Per giustificare la formula bisognerebbe saperne il contesto, ma se applichiamo la condizione di separazione al caso di un campo esterno $E_0=sigma/epsilon_0$ avremo:

$D_0=E_0*epsilon_0 = epsilon*E=D$

$sigma = epsilon_r*(D-P)=epsilon_r*(D_0 -P) =epsilon_r(sigma-P)$

e osservando che $vec n *vec P = sigma_P$ ovvero $sigma_P = P$ si ottiene

$sigma =epsilon_r(sigma-sigma_P)$

$sigma_P = (epsilon_r - 1)/epsilon_r * sigma$

Che corrisponde alla formula che hai riportato (ma relativa ad altro campo).

Infine $E_4$ che hai calcolato è corretto.

[giuseppe.b_02]

Apposto, sbagliavo a dare per vero quello che era scritto nel libro, pensavo che valeva in qualsiasi condizione ma rivedendolo attentamente lo ricava quando é tra due condensatori. Ho fatto la prova a ricavare la densità di polarizzazione come hai fatto tu ma col campo che mi interessa e tornano tutti i conti.
Grazie sempre