Campo elettrico in un condensatore piano con dielettrico
Salve a tutti, sto sbattendo la testa su questo esercizio da più di un giorno (nonostante all'apparenza iniziale mi sia sembrato facilissimo)..ho provato vari metodi per risolverlo ma nessuno mi convinceva del tutto..alla fine sono arrivato ad una soluzione che mi sembra la più corretta ma vorrei avere un vostro parere a riguardo.
Traccia
Un condensatore piano ha armature quadrate con lato \(\displaystyle b \). Lo spazio tra le armature è riempito a metà da un dielettrico lineare ed omogeneo, di costante dielettrica relativa \(\displaystyle k \), nell’altra metà vi è il vuoto. Il dielettrico si trova a contatto con l’armatura caricata positivamente e la distanza tra le armature è \(\displaystyle d \). Nota la d.d.p. tra le armature pari a \(\displaystyle V_0 \), determinare:
1) la capacità del condensatore
2) il campo elettrostatico nel vuoto e nel dielettrico
Svolgimento
Il disegno del sistema fisico a cui fare riferimento è il seguente :
Una configurazione del genere è elettricamente equivalente alla connessione in serie di due condensatori aventi capacità \(\displaystyle C_1 , C_2 \) con stessa superficie delle armature e distanza pari a \(\displaystyle d/2 \) :
Allora, la capacità equivalente sarà :
Adesso, per trovare il campo elettrostatico, noto che i due condensatori (che hanno carica uguale) formano un partitore capacitivo di tensione e quindi potrei applicare direttamente la formula del partitore. In ogni caso la posso ricavare facilmente dal sistema :
Conoscendo i valori di tensione possiamo ricavare il campo elettrico dalla definizione (il campo elettrico è uniforme e costante), quindi :
Da cui si ottiene :
E' giusto? In particolare quello che vorrei capire è :
1) è lecito studiare l'andamento del campo elettrico all'interno dei due condensatori separati o avrei dovuto studiarlo in altro modo?
2) se avessi dovuto procedere (ad esempio) con il teorema di Gauss come avrei dovuto fare? Inizialmente avevo immaginato di considerare delle superfici planari parallele alle armature e poi integrare nella zona in cui voglio trovare il campo elettrico (dato che il problema ha simmetria lungo z).
Traccia
Un condensatore piano ha armature quadrate con lato \(\displaystyle b \). Lo spazio tra le armature è riempito a metà da un dielettrico lineare ed omogeneo, di costante dielettrica relativa \(\displaystyle k \), nell’altra metà vi è il vuoto. Il dielettrico si trova a contatto con l’armatura caricata positivamente e la distanza tra le armature è \(\displaystyle d \). Nota la d.d.p. tra le armature pari a \(\displaystyle V_0 \), determinare:
1) la capacità del condensatore
2) il campo elettrostatico nel vuoto e nel dielettrico
Svolgimento
Il disegno del sistema fisico a cui fare riferimento è il seguente :
[fcd="Condensatore con dielettrico"][FIDOCAD]
RV 75 25 135 30 0
RV 75 60 135 65 0
TY 80 60 4 3 0 0 0 * +
TY 90 60 4 3 0 0 0 * +
TY 100 60 4 3 0 0 0 * +
TY 110 60 4 3 0 0 0 * +
TY 120 60 4 3 0 0 0 * +
TY 130 60 4 3 0 0 0 * +
TY 80 25 4 3 0 0 0 * -
TY 90 25 4 3 0 0 0 * -
TY 100 25 4 3 0 0 0 * -
TY 110 25 4 3 0 0 0 * -
TY 120 25 4 3 0 0 0 * -
TY 130 25 4 3 0 0 0 * -
LI 150 15 150 75 0
MC 150 15 3 0 074
LI 150 60 155 60 0
LI 150 45 155 45 0
LI 150 30 155 30 0
TY 155 55 4 3 0 0 0 * 0
TY 155 40 4 3 0 0 0 * d/2
TY 155 25 4 3 0 0 0 * d
MC 55 35 0 0 470
LI 55 35 55 15 0
LI 55 15 105 15 0
LI 105 15 105 25 0
LI 55 55 55 75 0
LI 55 75 105 75 0
LI 105 75 105 65 0
TY 60 50 4 3 0 0 0 * V0
RV 75 45 135 60 2[/fcd]
RV 75 25 135 30 0
RV 75 60 135 65 0
TY 80 60 4 3 0 0 0 * +
TY 90 60 4 3 0 0 0 * +
TY 100 60 4 3 0 0 0 * +
TY 110 60 4 3 0 0 0 * +
TY 120 60 4 3 0 0 0 * +
TY 130 60 4 3 0 0 0 * +
TY 80 25 4 3 0 0 0 * -
TY 90 25 4 3 0 0 0 * -
TY 100 25 4 3 0 0 0 * -
TY 110 25 4 3 0 0 0 * -
TY 120 25 4 3 0 0 0 * -
TY 130 25 4 3 0 0 0 * -
LI 150 15 150 75 0
MC 150 15 3 0 074
LI 150 60 155 60 0
LI 150 45 155 45 0
LI 150 30 155 30 0
TY 155 55 4 3 0 0 0 * 0
TY 155 40 4 3 0 0 0 * d/2
TY 155 25 4 3 0 0 0 * d
MC 55 35 0 0 470
LI 55 35 55 15 0
LI 55 15 105 15 0
LI 105 15 105 25 0
LI 55 55 55 75 0
LI 55 75 105 75 0
LI 105 75 105 65 0
TY 60 50 4 3 0 0 0 * V0
RV 75 45 135 60 2[/fcd]
Una configurazione del genere è elettricamente equivalente alla connessione in serie di due condensatori aventi capacità \(\displaystyle C_1 , C_2 \) con stessa superficie delle armature e distanza pari a \(\displaystyle d/2 \) :
[fcd="Condensatori in serie"][FIDOCAD]
MC 55 35 0 0 470
LI 55 35 55 15 0
LI 55 15 105 15 0
LI 55 55 55 75 0
LI 55 75 105 75 0
TY 60 50 4 3 0 0 0 * V0
MC 105 30 1 0 170
MC 105 55 1 0 170
LI 105 15 105 30 0
LI 105 40 105 55 0
LI 105 65 105 75 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * C1
TY 110 55 4 3 0 0 0 * C2
MC 80 15 0 0 074
TY 80 15 4 3 0 0 0 * iC
TY 50 35 4 3 0 0 0 * +[/fcd]
MC 55 35 0 0 470
LI 55 35 55 15 0
LI 55 15 105 15 0
LI 55 55 55 75 0
LI 55 75 105 75 0
TY 60 50 4 3 0 0 0 * V0
MC 105 30 1 0 170
MC 105 55 1 0 170
LI 105 15 105 30 0
LI 105 40 105 55 0
LI 105 65 105 75 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * C1
TY 110 55 4 3 0 0 0 * C2
MC 80 15 0 0 074
TY 80 15 4 3 0 0 0 * iC
TY 50 35 4 3 0 0 0 * +[/fcd]
Allora, la capacità equivalente sarà :
\(\displaystyle C_1 = \frac{\epsilon_0 b^2}{\frac{d}{2}} = 2 \frac{\epsilon_0 b^2}{d} \)
\(\displaystyle C_2 = k \frac{\epsilon_0 b^2}{\frac{d}{2}} = k C_1 \)
\(\displaystyle C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 2 \frac{k}{k+1} \frac{\epsilon_0 b^2}{d} \)
\(\displaystyle C_2 = k \frac{\epsilon_0 b^2}{\frac{d}{2}} = k C_1 \)
\(\displaystyle C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 2 \frac{k}{k+1} \frac{\epsilon_0 b^2}{d} \)
Adesso, per trovare il campo elettrostatico, noto che i due condensatori (che hanno carica uguale) formano un partitore capacitivo di tensione e quindi potrei applicare direttamente la formula del partitore. In ogni caso la posso ricavare facilmente dal sistema :
\(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} q_1=q_2\\V_0=V_1+V_2 \end{cases} \end{equation} \)
\(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} C_1 V_1=C_2 V_2\\V_0=V_1+V_2 \end{cases} \end{equation} \)
\(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} V_1 = V_0 \frac{C_2}{C_1 + C_2}\\V_2 = V_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \end{cases} \end{equation} \)
\(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} C_1 V_1=C_2 V_2\\V_0=V_1+V_2 \end{cases} \end{equation} \)
\(\displaystyle \begin{equation} \begin{cases} V_1 = V_0 \frac{C_2}{C_1 + C_2}\\V_2 = V_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \end{cases} \end{equation} \)
Conoscendo i valori di tensione possiamo ricavare il campo elettrico dalla definizione (il campo elettrico è uniforme e costante), quindi :
\(\displaystyle V_1 = \int_{0}^{d/2} E_1 dx = V_0 \frac{C_2}{C_1 + C_2} \)
\(\displaystyle V_2 = \int_{0}^{d/2} E_2 dx = V_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \)
\(\displaystyle V_2 = \int_{0}^{d/2} E_2 dx = V_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2} \)
Da cui si ottiene :
\(\displaystyle E_{vuoto} = \frac{2}{d} \frac{C_2}{C_1 + C_2} V_0 \)
\(\displaystyle E_{dielettrico} = \frac{2}{d} \frac{C_1}{C_1 + C_2} V_0 \)
\(\displaystyle E_{dielettrico} = \frac{2}{d} \frac{C_1}{C_1 + C_2} V_0 \)
E' giusto? In particolare quello che vorrei capire è :
1) è lecito studiare l'andamento del campo elettrico all'interno dei due condensatori separati o avrei dovuto studiarlo in altro modo?
2) se avessi dovuto procedere (ad esempio) con il teorema di Gauss come avrei dovuto fare? Inizialmente avevo immaginato di considerare delle superfici planari parallele alle armature e poi integrare nella zona in cui voglio trovare il campo elettrico (dato che il problema ha simmetria lungo z).
Risposte
nessuno? 
Corretto a parte il segno del GIT e per quanto riguarda le tue duo domande, le risposte sono: si per la prima e si per la seconda, ovvero potevi anche usare Gauss per ricavarti i due campi, ma dovendo passare dalla carica, non sarebbe stata la strada migliore.
Grazie mille RenzoDF 
PS: ma sei ovunque
PS: ma sei ovunque
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