Campo elettrico in questa figura

[smaug1]

Se prendiamo un quadrato di lato $2l$ dove il lato superiore e quelli laterali hanno carica uniformemente distribuita $q$ mentre il lato in basso non presenta carica; si deve calcolare il campo elettrostatico nel centro O.

Diciamo che lungo l'asse x perpendicolare ai lati non c'è in totale l'effetto di nessun campo elettrostatico. Mentre sull'asse y c'è l'effetto del lato superiore, il cui campo è diretto verso il basso.


$E_y = k (dq)/(r^2)\ \cos\theta$

sfruttando il fatto che

$x= l\ \tan \theta$, $dx = (l\ d\theta)/(\cos^2\theta)\ $, e $x^2 + y^2 = l^2 (\tan^2\theta + 1)$

e mi viene

$E = k \lambda / l \int_0^(\pi/4) \cos \theta d\theta$

ma non viene, come posso fare?

Grazie mille

[chiaraotta1]

E' un problema che hai preso da un libro e di cui sai il risultato? Per favore puoi indicare di che libro si tratta e cosa dovrebbe risultare?

[smaug1]

Certo scusami! il libro è Elementi di fisica elettromagnetismo ed onde (Mazzoldi)

Dice soltanto

$E = q / (4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{2} l^2)$

Grazie mille davvero

[chiaraotta1]

E' chiaro che il campo creato dai due lati "laterali" è $=0$ per ragioni di simmetria.
Quindi il campo al centro è solo il campo creato dalla carica del lato superiore a distanza $L$, con $2L$ lato del quadrato.
La direzione è perpendicolare al lato superiore e il verso in basso se $q$ è $>0$.
Il modulo si ottiene adattando l'espressione ricavata per il campo sull'asse di un filo con carica $Q$, lungo $l$, a distanza $y$ (campo-elettrico-lastra-densita-carica-costante-t104160.html#p687200).
L'espressione calcolata era
$E=Q/(2 pi epsilon_0) 1/(ysqrt(4y^2+l^2))$.
Sostituendo $q$ a $Q$, $L$ a $y$ e $2L$ a $l$, si ottiene che
$E=Q/(2 pi epsilon_0) 1/(ysqrt(4y^2+l^2))=q/(2 pi epsilon_0) 1/(Lsqrt(4L^2+4L^2))=$
$q/(2 pi epsilon_0) 1/(L^2sqrt(8))=q/(4 pi epsilon_0) 1/(sqrt(2)L^2)$.

[smaug1]

sei fantastica! ci sono riuscito!

Grazie mille