Campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche. Esercizi.

[Bad90]

Esercizio 20

Una distribuzione continua di carica giace su un segmento che si estende da $x= + x_0$ all'infinito.La densità di carica $lambda_0$ è uniforme.
Quali sono il modulo e la direzione del campo elettrico nell'origine?

Avreste per favore qualche piccolo consiglio???

[professorkappa]

"Bad90":
Scusami veciorik, potresti spiegarmi per favore la formula da dove deriva?
Sai, a me piace vedere i ragionamenti che portano alla formula finale, non voglio basarmi sempre sulla memoria!

Ti ringrazio anticipatamente!

Devi integrare come hai fatto finora.

[size=150] \( E=\int_{y=-\frac{L}{2}}^{y=\frac{L}{2}} \frac{k\sigma cos\theta}{\sqrt{d^2+y^2}} dy \) [/size]

tenendo conto che \( cos\theta=\frac{d}{\sqrt{d^2+y^2}} \)
e
[size=150]\( Q=\sigma L \)[/size]

[veciorik]

"Bad90":[quote="veciorik"][quote="professorkappa"]Se il problema fosse impostato sull'asse del segmento, il risultato sarebbe $17.47 x 10^6 N/C$

Mi risulta $ E=(kQ) / d^2 * 1/sqrt(1 + ( l/(2d))^2 ) = 1.498*10^6 N/C$[/quote]
Scusami veciorik, potresti spiegarmi per favore la formula da dove deriva ?
[/quote]
Come dice professorkappa ho integrato tra gli estremi del segmento $[-l/2\leq x \leq l/2]$ le proiezioni sull'asse $y$, mediano del segmento, dei campi infinitesimi $dE_y=k(dq)/r^2 cos\theta$ generati da una carica $Q$ distribuita uniformemente $dq=\lambda dx$ :

$E=k\int_{-l/2}^{l/2} ((\lambda dx)/r^2 cos\theta)
=k\lambda \int_{-l/2}^{l/2} ((dx)/(d^2+x^2)*d/sqrt(d^2+x^2))
=k\lambda d \int_{-l/2}^{l/2} dx/((d^2+x^2)sqrt(d^2+x^2))$

$E=k\lambda d * [x/(d^2 sqrt(d^2+x^2))]_{-l/2}^{l/2}
=(k(\lambda l))/d/sqrt(d^2+(l/2)^2)
=kQ/d^2 * f_y$ dove $f_y=1/sqrt(1+(l/(2d))^2)$.

L'ultimo passaggio serve per evidenziare due fattori:

1) $E=kQ/d^2=1.526*10^6 N/C$ : intensità del campo, sferico, di una carica concentrata al centro del segmento.[/list:u:3nujz64v]


2) $f_y=1/sqrt(1+(l/(2d))^2)=0.98$ : fattore correttivo per cariche distribuite su segmento ortogonale all'asse $y$.[/list:u:3nujz64v]

NB: se invece il rivelatore sta sull'asse $x$ il fattore correttivo vale $f_x=1/(1-(l/(2d))^2)=1.04$ .

[Bad90]

Grazie mille veciorik, sei stato superchiarissimo!