Campo elettrico e potenziale
Salve a tutti, da qualche giorno ho iniziato a studiare fisica 2 e già mi sono imbattuto molto più sui campi vettoriali di quanto abbia fatto in fisica 1. In particolare sono molto incuriosito dall’aspetto matematico. Prendo ad esempio per capire meglio il campo elettrico generato da una carica pntiforme che corrisponde a:
$\vec E=1/(4\pi\xi) q/r^2$. (per il versore n)
Ora supponendo che la carica non vari nel tempo, l‘unica variabile del campo $\vec E$ è la distanza r.
Se volessi scrivere la funzione essendo che il modulo del campo non varia a secoda del punto ma solo a seconda della distanza posso scrivere che $f(r)=|E|$
Ditemi se sbaglio. Questa relazione semplificativa vale solo per una carica puntoforme costante.
Ora,ad analisi 2 ho studiato la funzione potenziale di un campo vettoriale definito come $\vec F=(Fx,Fy,Fz)$ dove le componenti erano funzioni corrispondevano alla derivata parziale della funzione potenziale U rispetto ad uno dei tre assi.
Verificando prima la chiusura del campo e poi integrando una delle tre componenti rispetto alla propria cordinata mi ricavavo la funzione potenziale + una certa funzione in questo caso altre due rispetto agli altri due termini che poi andavo a derivare e ad eguagliare.
Il mio problema sorge quando si tratta di applicare ció ad un campo $\vec E=f(r)$ che essendo funzione solo della distanza e quindi per definizione dipende solo ed esclusivamente dagli estremi deve ammettere per definizione il potenziale. Ed infatti ammette potenziale, ma come calcolarlo? su interent ho trovato che basta integrare il campo rispetto a dr, ma questa soluzione non mi piace molto dal punto di vista matematico, anche perché considerando una funzione di sola variabile r tutto ció che vado a fare sulle derivate parziali va a farsi benedire.
A questo punto mi chiedo cosa succede se pongo $r^2=x^2+y^2+z^2$ le componenti del campo sarebbero in realtà le stesse? come si procede ?
$\vec E=1/(4\pi\xi) q/r^2$. (per il versore n)
Ora supponendo che la carica non vari nel tempo, l‘unica variabile del campo $\vec E$ è la distanza r.
Se volessi scrivere la funzione essendo che il modulo del campo non varia a secoda del punto ma solo a seconda della distanza posso scrivere che $f(r)=|E|$
Ditemi se sbaglio. Questa relazione semplificativa vale solo per una carica puntoforme costante.
Ora,ad analisi 2 ho studiato la funzione potenziale di un campo vettoriale definito come $\vec F=(Fx,Fy,Fz)$ dove le componenti erano funzioni corrispondevano alla derivata parziale della funzione potenziale U rispetto ad uno dei tre assi.
Verificando prima la chiusura del campo e poi integrando una delle tre componenti rispetto alla propria cordinata mi ricavavo la funzione potenziale + una certa funzione in questo caso altre due rispetto agli altri due termini che poi andavo a derivare e ad eguagliare.
Il mio problema sorge quando si tratta di applicare ció ad un campo $\vec E=f(r)$ che essendo funzione solo della distanza e quindi per definizione dipende solo ed esclusivamente dagli estremi deve ammettere per definizione il potenziale. Ed infatti ammette potenziale, ma come calcolarlo? su interent ho trovato che basta integrare il campo rispetto a dr, ma questa soluzione non mi piace molto dal punto di vista matematico, anche perché considerando una funzione di sola variabile r tutto ció che vado a fare sulle derivate parziali va a farsi benedire.
A questo punto mi chiedo cosa succede se pongo $r^2=x^2+y^2+z^2$ le componenti del campo sarebbero in realtà le stesse? come si procede ?
Risposte
Non so se rispondo ai tuoi dubbi, ad ogni modo metto giù qualche passaggio.
Supponiamo che esista una funzione potenziale U del punto nello spazio, dipendente solo dalla distanza tra il punto stesso e l'origine di un sistema cartesiano. Vediamo il suo -gradiente, calcolato con le derivate parziali:
$$\eqalign{
& U = U\left( r \right) \cr
& r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \cr
& \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{{\partial r}}
{{\partial x}} \cr
& \frac{{\partial r}}
{{\partial x}} = \frac{x}
{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} = \frac{x}
{r} \cr
& {E_x} = - \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{x}
{r} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{c_x} \cr} $$
dove $c_x$ risulta essere il coseno direttore del segmento che congiunge il punto con l'origine rispetto all'asse coordinato x.
Lo stesso ragonamento si può fare per le altre due coordinate. In conclusione:
$${\bf{E}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}$$
da cui si vede che per trovare il -gradiente di questa funzione U(r) basta fare la derivata totale rispetto alla variabile distanza (r) e moltiplicarla per il versore del vettore posizione.
Supponiamo che esista una funzione potenziale U del punto nello spazio, dipendente solo dalla distanza tra il punto stesso e l'origine di un sistema cartesiano. Vediamo il suo -gradiente, calcolato con le derivate parziali:
$$\eqalign{
& U = U\left( r \right) \cr
& r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \cr
& \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{{\partial r}}
{{\partial x}} \cr
& \frac{{\partial r}}
{{\partial x}} = \frac{x}
{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} = \frac{x}
{r} \cr
& {E_x} = - \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{x}
{r} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{c_x} \cr} $$
dove $c_x$ risulta essere il coseno direttore del segmento che congiunge il punto con l'origine rispetto all'asse coordinato x.
Lo stesso ragonamento si può fare per le altre due coordinate. In conclusione:
$${\bf{E}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}$$
da cui si vede che per trovare il -gradiente di questa funzione U(r) basta fare la derivata totale rispetto alla variabile distanza (r) e moltiplicarla per il versore del vettore posizione.
"Falco5x":
$$\eqalign{
& U = U\left( r \right) \cr
& r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \cr
& \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{{\partial r}}
{{\partial x}} \cr
& \frac{{\partial r}}
{{\partial x}} = \frac{x}
{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} = \frac{x}
{r} \cr
& {E_x} = - \frac{{\partial U}}
{{\partial x}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{x}
{r} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{c_x} \cr} $$
dove $c_x$ risulta essere il coseno direttore del segmento che congiunge il punto con l'origine rispetto all'asse coordinato x.
Lo stesso ragonamento si può fare per le altre due coordinate. In conclusione:
$${\bf{E}} = - \frac{{dU}}
{{dr}}{{\bf{u}}_{\bf{r}}}$$
da cui si vede che per trovare il -gradiente di questa funzione U(r) basta fare la derivata totale rispetto alla variabile distanza (r) e moltiplicarla per il versore del vettore posizione.
Sto pensando a quel $x/r$ è il coseno perché se immagino una segmento x che congiunge la proiezione del punto P sull'asse delle ascisse e considero r come il raggio che congiunge il punto con l'origine ottengo un triangolo rettangolo dove r è l'ipotenusa e $\theta$ è l'angolo allora posso scrivere $x/r=(r*cos(\theta))/r$ e quindi mi rimane solo coseno di theta, è giusto?
Un altra cosa non capisco il perche di quel segno meno.
Però in questo modo ho trovato il gradiente della campo $\vec E$ gradiente che posso scrivere come :
$\grad\vec E= (dU/dx,dU/dy,dU/dz) = (dU/(dr))*u_r$ e questo lo capisco pure, ma il problema mi rimane per quanto riguarda il potenziale. Cioè se io voglio scrivere il campo vettoriale in forma di componenti?
Ora mi viene in mente che sono stupido...
Se volessi scrivere il campo vettoriale in forma di componenti dovrebbe essere:
$\vec E=(q/(4pi\epsilon *x^2), q/(4pi\epsilon*y^2), q/(4pi\epsilon*z^2))$
Giusto? Se ho capito bene posso caloclarmi il potenziale usando queste componenti.
Il segno meno dipende dal fatto che per convenzione il campo elettrico è uguale al "meno gradiente di U".
E' definito così, in modo da essere diretto verso potenziali decrescenti (nel caso di una carica positiva isolata il campo è diretto in direzione radiale e nel verso di allontanamento dalla carica, mentre il potenziale decresce dalla carica fino a giungere a zero a distanza infinita.
Per quanto riguarda l'espressione analitica del campo in coordinate cartesiane, non è quella che hai scritto.
Se leggi bene le conclusioni del mio post, vedi che i passi successivi sono i seguenti:
$$\eqalign{
& E \equiv \left( { - \frac{{\partial U}}
{{\partial x}}; - \frac{{\partial U}}
{{\partial y}}; - \frac{{\partial U}}
{{\partial z}}} \right) \equiv \left( { - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{x}
{r}; - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{y}
{r}; - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{z}
{r}} \right) \cr} $$
e quindi nel caso di una carica isolata si ha:
$$\eqalign{
& U = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}} \cr
& E \equiv \left( {\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}x;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}y;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}z} \right) \cr
& E \equiv \left( {\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}x;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}y;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}z} \right) \cr} $$
E' definito così, in modo da essere diretto verso potenziali decrescenti (nel caso di una carica positiva isolata il campo è diretto in direzione radiale e nel verso di allontanamento dalla carica, mentre il potenziale decresce dalla carica fino a giungere a zero a distanza infinita.
Per quanto riguarda l'espressione analitica del campo in coordinate cartesiane, non è quella che hai scritto.
Se leggi bene le conclusioni del mio post, vedi che i passi successivi sono i seguenti:
$$\eqalign{
& E \equiv \left( { - \frac{{\partial U}}
{{\partial x}}; - \frac{{\partial U}}
{{\partial y}}; - \frac{{\partial U}}
{{\partial z}}} \right) \equiv \left( { - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{x}
{r}; - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{y}
{r}; - \frac{{dU}}
{{dr}}\frac{z}
{r}} \right) \cr} $$
e quindi nel caso di una carica isolata si ha:
$$\eqalign{
& U = \frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}} \cr
& E \equiv \left( {\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}x;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}y;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{r^3}}}z} \right) \cr
& E \equiv \left( {\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}x;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}y;\frac{q}
{{4\pi {\varepsilon _0}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}}z} \right) \cr} $$
Ok grazie chiarissimo 
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