Campo elettrico e magnetico di un onda elettromagnetica
Il raggio di un laser verde è costituito da un’onda elettromagnetica piana
monocromatica. L’onda si propaga nella direzione positiva dell’asse $x$ e il campo elettrico oscilla lungo l’asse $y$.
Si scriva l’andamento dei campi elettrico e magnetico in funzione della posizione e del tempo.
Allora in teoria gli andamenti sono della forma:
$E(t)=E_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
oppure
$E(t)=E_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ (ringrazio chiunque me lo ricordi).
Ora la mia domanda è: come faccio a capire se scegliere coseno o seno e il segno di $pm\omegat$?
monocromatica. L’onda si propaga nella direzione positiva dell’asse $x$ e il campo elettrico oscilla lungo l’asse $y$.
Si scriva l’andamento dei campi elettrico e magnetico in funzione della posizione e del tempo.
Allora in teoria gli andamenti sono della forma:
$E(t)=E_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
oppure
$E(t)=E_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ (ringrazio chiunque me lo ricordi).
Ora la mia domanda è: come faccio a capire se scegliere coseno o seno e il segno di $pm\omegat$?
Risposte
"andreadel1988":
Il raggio di un laser verde è costituito da un’onda elettromagnetica piana
monocromatica. L’onda si propaga nella direzione positiva dell’asse $x$ e il campo elettrico oscilla lungo l’asse $y$.
Si scriva l’andamento dei campi elettrico e magnetico in funzione della posizione e del tempo.
Allora in teoria gli andamenti sono della forma:
$E(t)=E_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0cos(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
oppure
$E(t)=E_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\vecj$ e $B(t)=B_0sin(\vec k*\vec xpm\omegat)\veck$
mmm....no. Diversi errori !!! In una formula hai riunito davvero tanti errori.
Cosa sarebbe $\vec k \cdot \vec x$ ? Non si capisce che senso ha.
I versori nello spazio euclideo classico sono $\bb \hat i, \bb \hat j, \bb \hat k$. Ci va l'apice sopra. Non lo vedo.
(Le lettere sono una convenzione, ma ormai tutto il mondo usa quelle quindi le usiamo anche noi. )
Poi $\vec x $ cosa sarebbe ??? Non si sa.
$\bb E(t)$ e $\bb B(t)$ sono vettori ma tu li hai scritti come scalari. O con la freccina sopra o in grassetto. Io li vedo spesso scritti in grassetto.
Questo poi: $\vec k*\vec xpm\omegat$. Cosa sarebbe ?
Sommi uno scalare $\omega t$ con dei vettori ? Spero di no.
Fai il prodotto scalare tra un versore e cosa ? Quella $\vec x$, di nuovo, cos'e' un vettore ? Spero di no.
Anche se fosse un prodotto scalare, a che serve ?
Poi ci sono i segni piu' e meno, ci arriviamo dopo.
Cosa sarebbe il "vettore posizione" ???
dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ (ringrazio chiunque me lo ricordi).
Ora la mia domanda è: come faccio a capire il segno di $pm\omegat$?
Lo si capisce ragionandoci sopra.
Questo e' un impulso rettangolare: $"rect"(x)$. E' posizionato sullo $0$.
Ora io scrivo $"rect"(x-t)$. L'impulso e' posizionato laddove $x-t = 0$.
A $t=1$ l'impulso e' posizionato su $x=1$.
A $t=2$ l'impulso e' posizionato su $x=2$.
A $t=3$ l'impulso e' posizionato su $x=3$.
A $t=4$ l'impulso e' posizionato su $x=4$.
Riesci a vedere cosa succede ? Man mano che passa il tempo l'impulso si sposta verso la direzione positiva delle $x$. L'impulso si propaga verso la direzione positiva delle $x$.
Quindi cosa ci va scritto nella tua formula: $cos(x-\omega t )$ oppure $cos(x + \omega t)$ ?
Se poi uno non e' ancora convinto, puo' andare su un sito di calcolo grafico e in 2 secondi lo vede con i propri occhi qual e' quella giusta.
https://www.desmos.com/calculator/0eyry9hzot
Quale delle 2 si propaga verso le $x$ positive ? La blu o la rossa ?
Ora la mia domanda è: come faccio a capire se scegliere coseno o seno ?
Che differenza fa ?
Vai nel tool grafico con le onde che ti ho impostato. Invece dei coseni metti i seni.
Cambia qualcosa ??? No.
Hai sempre un onda che si sposta.
In realta' qualcosa cambia, ma e' solo una questione di dove metti $t=0$ che in pratica non interessa a nessuno.
Quindi adesso scriviamo le equazioni scritte bene.
$\bb E(t) = E_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat j $
$\bb B(t) = \pm B_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat k $
Abbiamo finito ?
No.
Hai visto che ho lasciato il $\pm$ nella formula $\bb B$.
Come si fa a capire qual e' quello giusto ?
Si prende una delle equazioni di Maxwell e si usa quella per capire.
$\bb\nabla \times \bb E = - (\partial \bb B)/(\partial t)$.
Prego. Quest'ultimo dettaglio lo lascio a te. Calcoli il rotore di $\bb E$ da una parte e la derivata verso il tempo di $\bb B$ dall'altra e vedi che segno ci va.
"andreadel1988":
... dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ ...
Beh, la scrittura corretta sarà $\vec r=(x,y,z)$ e di conseguenza nelle relazioni comparirà $\vec k \cdot \vec r$, ma deve essere ben definito cosa si intende con $\vec k$, in quanto quella lettera normalmente si usa anche per il versore di un asse. Spesso si intende $\vec k=k \hatk$.
"Quinzio":
... Quindi adesso scriviamo le equazioni scritte bene.
$\bb E(t) = E_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat j $
$\bb B(t) = \pm B_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat k $ ...
Mah, forse non sono scritte proprio bene.
Direi ci sia una incongruenza dimensionale in quelle relazioni.
Allora ho capito che il segno $pm\omegat$ dipende se l'onda si propaga in direzione positiva (in questo caso va messo il meno) o direzione negativa (in questo caso il più) e il problema specifica che si muove in direzione positiva, quindi va messo il meno. Poi ho visto la risoluzione del problema e lui usa il seno in questo caso, quindi pure se mettevo il coseno non è un errore (ho visto anche un altro problema sulle onde elettromagnetiche e metteva il coseno), più che altro allora perchè non usare sempre il seno o il coseno se sono invarianti?
"RenzoDF":
[quote="andreadel1988"]... dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ ...
Beh, la scrittura corretta sarà $\vec r=(x,y,z)$ e di conseguenza nelle relazioni comparirà $\vec k \cdot \vec r$, ma deve essere ben definito cosa si intende con $\vec k$, in quanto quella lettera normalmente si usa anche per il versore di un asse. Spesso si intende $\vec k=k \hatk$.
[/quote]
Beh si effettivamente è più corretto scriver $\vecr$ però non so perchè il mio professore lo scrive con $\vecx$ e quindi mi sono abituato a quello
(e forse è ancora più corretto scrivere il vettore d'onda con $\vecq$)
"RenzoDF":
[quote="andreadel1988"]... dove $\vec k$ è il vettore d'onda, mentre $\vec x$ sarebbe il vettore posizione, ma non ricordo bene se era fatto come $\vec x=(x,y,z)$ ...
Beh, la scrittura corretta sarà $\vec r=(x,y,z)$ e di conseguenza nelle relazioni comparirà $\vec k \cdot \vec r$, ma deve essere ben definito cosa si intende con $\vec k$, in quanto quella lettera normalmente si usa anche per il versore di un asse. Spesso si intende $\vec k=k \hatk$.
"Quinzio":
... Quindi adesso scriviamo le equazioni scritte bene.
$\bb E(t) = E_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat j $
$\bb B(t) = \pm B_0 cos (x - \omega\ t) \bb \hat k $ ...
Mah, forse non sono scritte proprio bene.
Direi ci sia una incongruenza dimensionale in quelle relazioni.[/quote]
Ho riguardato il tutto attentamente (sono 2 righe scarse) e mi sembra che sia tutto a posto.
Vorresti gentilmente indicare dove sono gli errori, le imprecisioni, ecc... cosi' impariamo tutti qualcosa ?
Una banale dimenticanza: manca il numero d'onda k che moltiplica la x.
"ingres":
Una banale dimenticanza: manca il numero d'onda k che moltiplica la x.
Si, vedi, perche' in realta' quel $\cos (x-\omega\ t)$, \omega e' una velocita', dovrebbe essere scritta $\cos (x-v\ t) $ che nel vuoto sarebbe $v=c$.
Mi sono lasciato abbindolare dalla formula originale. Altro errore.
"andreadel1988":
Allora ho capito che il segno $pm\omegat$ dipende se l'onda si propaga in direzione positiva (in questo caso va messo il meno) o direzione negativa (in questo caso il più) e il problema specifica che si muove in direzione positiva, quindi va messo il meno. Poi ho visto la risoluzione del problema e lui usa il seno in questo caso, quindi pure se mettevo il coseno non è un errore (ho visto anche un altro problema sulle onde elettromagnetiche e metteva il coseno), più che altro allora perchè non usare sempre il seno o il coseno se sono invarianti?
Più che altro questo volevo capire fosse giusto, grazie.
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