Campo Elettrico e Magnetico
Ciao ragazzi, sono di nuovo io alle prese con un altro esercizio di fisica 2 che mi desta perplessità. Il testo dice:
Una carica $Q=10^-2 C$ avente massa $m=0,004 Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20 m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ e distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la d.d.p tra le armature è $V=10V$, determinare:
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio.
Innanzitutto so che la parabola che si viene a creare al momento dell'uscita dell'elettrone dal condensatore ha una concavità rivolta verso l'alto, perchè la carica in moto è positiva.
Dalla teoria so che $E=((ΔV)/d)=10/(0,02)=500 N/C$.
So, inoltre, che al momento dell'entrata nel campo elettrico la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Dividendo il moto nelle due componenti ottengo che lungo le ascisse la particella ha moto rettilineo uniforme, quindi $x=v*t$, mentre lungo le ordinate è presente un moto uniformemente accelerato, quindi $y=1/2*a*t^2$.
Con le dovute sostituzioni ottengo che $Δy= 1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))=1/2*((500*10^-2)/(0,004))*((0,005^2)/20^2)=3,9*10^-3 m.$
Sono abbastanza sicura di questo punto ma non so se sto dimenticando qualcosa.
Per quanto riguarda il secondo punto invece, so che una particella che si trova a passare in una zona di spazio dove sia presente un campo elettrico e un campo magnetico risente sia della forza elettrica che della forza magnetica. La forza totale risulta essere elettromagnetica: $Fl=(q*E)+(q*v*B)$
Se il campo elettrico e magnetico sono confinati all'interno di un condensatore, il campo elettrico è diretto verticalmente e quello magnetico è normale alla pagina. La particella si muove di una traiettoria elicoidale di cui posso determinare il raggio, che risulta essere:
$r=(m*v)/(q*B)=0,8m$
Non ho altre idee su come muovermi in questo punto del problema...
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di spiegarmi cosa dovrei fare.
Una carica $Q=10^-2 C$ avente massa $m=0,004 Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20 m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ e distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la d.d.p tra le armature è $V=10V$, determinare:
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio.
Innanzitutto so che la parabola che si viene a creare al momento dell'uscita dell'elettrone dal condensatore ha una concavità rivolta verso l'alto, perchè la carica in moto è positiva.
Dalla teoria so che $E=((ΔV)/d)=10/(0,02)=500 N/C$.
So, inoltre, che al momento dell'entrata nel campo elettrico la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Dividendo il moto nelle due componenti ottengo che lungo le ascisse la particella ha moto rettilineo uniforme, quindi $x=v*t$, mentre lungo le ordinate è presente un moto uniformemente accelerato, quindi $y=1/2*a*t^2$.
Con le dovute sostituzioni ottengo che $Δy= 1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))=1/2*((500*10^-2)/(0,004))*((0,005^2)/20^2)=3,9*10^-3 m.$
Sono abbastanza sicura di questo punto ma non so se sto dimenticando qualcosa.
Per quanto riguarda il secondo punto invece, so che una particella che si trova a passare in una zona di spazio dove sia presente un campo elettrico e un campo magnetico risente sia della forza elettrica che della forza magnetica. La forza totale risulta essere elettromagnetica: $Fl=(q*E)+(q*v*B)$
Se il campo elettrico e magnetico sono confinati all'interno di un condensatore, il campo elettrico è diretto verticalmente e quello magnetico è normale alla pagina. La particella si muove di una traiettoria elicoidale di cui posso determinare il raggio, che risulta essere:
$r=(m*v)/(q*B)=0,8m$
Non ho altre idee su come muovermi in questo punto del problema...
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di spiegarmi cosa dovrei fare.
Risposte
Anche in quell'esercizio che avevo svolto era così la situazione anzi il testo era talmente identico che quasi penso fossero la stessa persona. Tant'è che il tuo risultato è uguale al mio. In base alle tue equazioni il tempo di uscita è circa $0,0025 s$ che inserito nell'altra equazione dà la stessa deflessione complessiva che avevo trovato io. Visto che i campi sono formalmente disaccoppiati si possono comporre i moti anche studiando una traiettoria per volta. Comunque una seconda via è sempre auspicabile. Sono intervenuto giusto perché ero sorpreso che lo stesso problema con elettroni di carica positiva e grossi 4 grammi fosse ricomparso addirittura due volte 
"Nikikinki":
... Visto che i campi sono formalmente disaccoppiati si possono comporre i moti anche studiando una traiettoria per volta.
Scusa, ma direi proprio di no, i campi non sono disaccoppiati.
No certo campo elettrico e magnetico sono la stessa entità quindi non sono disaccoppiati in generale, ma in questo caso in cui non si mischiano, "formalmente" lo sono nel senso che posso scrivere, una relazione vettoriale del tipo
$F=F_E+F_B=m(a_E+a_B)$ quindi $[F_E-m a_E]+[F_B-ma_B]=0$
Dove i pedici indicano formalmente il legame solo con il campo elettrico o magnetico. Entrambe le parentesi quadre sono equazioni differenziali lineari e le singole soluzioni sono, per linearità, soluzione dell'equazione totale. Dato che il problema di Cauchy è ben determinato, la soluzione è unica; quindi trovata una, non ce ne sono altre. Per questo i nostri risultati coincidono, altrimenti vinceremmo il nobel
$F=F_E+F_B=m(a_E+a_B)$ quindi $[F_E-m a_E]+[F_B-ma_B]=0$
Dove i pedici indicano formalmente il legame solo con il campo elettrico o magnetico. Entrambe le parentesi quadre sono equazioni differenziali lineari e le singole soluzioni sono, per linearità, soluzione dell'equazione totale. Dato che il problema di Cauchy è ben determinato, la soluzione è unica; quindi trovata una, non ce ne sono altre. Per questo i nostri risultati coincidono, altrimenti vinceremmo il nobel
"Nikikinki":
...Per questo i nostri risultati coincidono, ...
I nostri risultati non sono uguali, sono solo numericamente vicini, ad ogni modo, mi puoi dire quali sono secondo te le relazioni per
$v_x(t)$, $v_y(t)$ , $x(t)$ e $y(t)$ ?
Da quello che mi sembra di capire dalla tua risposta al problema linkato, consideri
$v_x(t)=v_0\quad$ e $\quad x(t)=v_0t$
sbaglio?
Ma ho semplicemente calcolato le due traiettorie e le ho sommate, solo che l'altra l'ho "risolta" geometricamente visto che mi interessava solo un punto. Comunque sono ben più che numericamente vicine, sono proprio identiche.
Dalla tua equazione vorrei $x(t)=L=0.05 m$ e se vi sostituisco $t=0.0025s$ abbiamo, concedimi di ovviare alle unità di misura che puoi comunque controllare,
$50*(0.0025)+(0.8-2)sin(25*0.0025)=0.05004m$ siamo "numericamente vicini" alla quarta cifra decimale. Direi parecchio vicini. Quello è proprio il tempo di uscita e se lo sostituisci nell'altra tua equazione trovi lo stesso identico risultato che avevo trovato io, con la stessa precisione.
Ma quel tempo non l'ho tirato a indovinare e credo risponda, almeno in parte, anche alla domanda che mi hai fatto. Quel tempo è $L/v_0=0.05/20=0.0025s$.
Non abbiamo fatto nulla di diverso, solo che tu hai risolto tutto insieme ed io ho separato due moti che sono formalmente indipendenti l'uno dall'altro, di uno mi sono interessato di scrivere le equazioni del moto, dell'altro ho sfruttato direttamente la traiettoria per via grafica
PS: Comunque stiamo facendo tutta questa discussione e spendendo energie probabilmente senza che all'OP interessi minimamente. Chi ce lo fa fare
Come ho detto ero intervenuto più per curiosità su chi aveva richiesto due volte lo stesso problema che per altro e di certo non per criticare una persona così ferrata come te nella materia da cui, tra l'altro, traggo sempre grande piacere nel leggere le risposte per come hai grande dimestichezza negli apparati circuitali che io ho sempre trovato aridi e che mi stai facendo rivalutare 
Dalla tua equazione vorrei $x(t)=L=0.05 m$ e se vi sostituisco $t=0.0025s$ abbiamo, concedimi di ovviare alle unità di misura che puoi comunque controllare,
$50*(0.0025)+(0.8-2)sin(25*0.0025)=0.05004m$ siamo "numericamente vicini" alla quarta cifra decimale. Direi parecchio vicini. Quello è proprio il tempo di uscita e se lo sostituisci nell'altra tua equazione trovi lo stesso identico risultato che avevo trovato io, con la stessa precisione.
Ma quel tempo non l'ho tirato a indovinare e credo risponda, almeno in parte, anche alla domanda che mi hai fatto. Quel tempo è $L/v_0=0.05/20=0.0025s$.
Non abbiamo fatto nulla di diverso, solo che tu hai risolto tutto insieme ed io ho separato due moti che sono formalmente indipendenti l'uno dall'altro, di uno mi sono interessato di scrivere le equazioni del moto, dell'altro ho sfruttato direttamente la traiettoria per via grafica
PS: Comunque stiamo facendo tutta questa discussione e spendendo energie probabilmente senza che all'OP interessi minimamente. Chi ce lo fa fare
Come ho detto ero intervenuto più per curiosità su chi aveva richiesto due volte lo stesso problema che per altro e di certo non per criticare una persona così ferrata come te nella materia da cui, tra l'altro, traggo sempre grande piacere nel leggere le risposte per come hai grande dimestichezza negli apparati circuitali che io ho sempre trovato aridi e che mi stai facendo rivalutare
"Nikikinki":
Ma ho semplicemente calcolato le due traiettorie e le ho sommate, solo che l'altra l'ho "risolta" geometricamente visto che mi interessava solo un punto.
Fin lì c'ero arrivato.
"Nikikinki":
... Comunque sono ben più che numericamente vicine, sono proprio identiche.
Dalla tua equazione vorrei $x(t)=L=0.05 m$ e se vi sostituisco $t=0.0025s$ abbiamo, concedimi di ovviare alle unità di misura che puoi comunque controllare,
Io direi che mentre dalla tua relazione esce $50*(0.0025)+(0.8-2)sin(25*0.0025)=0.05004m$ siamo "numericamente vicini" alla quarta cifra decimale. Direi parecchio vicini. Quello è proprio il tempo di uscita e se lo sostituisci nell'altra tua equazione trovi lo stesso identico risultato che avevo trovato io, con la stessa precisione.
Diciamo che mentre dalla tua relazione esce un tempo esattamente uguale a 2.5 ms, dalla mia esce un valore diverso
ed è anche ovvio che sia così, vista la $x(t)$ che ho ricavato.
Tanto per rimanere nel campo numerico riprova a fare i calcoli per una $v_0=5 \ \text{m/s}$; con la tua relazione otterrai $10 \ \text{ms}$ esatti e $Delta y\approx 56 \ \text{mm}$, con la mia $9.2580\ \text{ms}$ e $Delta y\approx 48 \ \text{mm}$ ... vicine anche queste?
"Nikikinki":
... Ma quel tempo non l'ho tirato a indovinare e credo risponda, almeno in parte, anche alla domanda che mi hai fatto. Quel tempo è $L/v_0=0.05/20=0.0025s$.
Anche questo lo avevo capito (e scritto), ma quindi, se affermi che $x(t)=v_0$, devo avere sbagliato io qualcosa, ma non riuesco a capire cosa.
"Nikikinki":
... Non abbiamo fatto nulla di diverso, solo che tu hai risolto tutto insieme ed io ho separato due moti che sono formalmente indipendenti l'uno dall'altro, di uno mi sono interessato di scrivere le equazioni del moto, dell'altro ho sfruttato direttamente la traiettoria per via grafica
Scusa, ma anch'io ho separato i due moti lungo i due assi, lo ho detto già inizialmente, nelle prime risposte.
Ora, visto che tu mi hai spiegato quella interessante e semplice relazione fra le forze e le accelerazioni (relative a E e a B), non è che da quelle si possano poi ricavare, altrettando facilmente le velocità, la x(t) e la y(t)?
"Nikikinki":
... PS: Comunque stiamo facendo tutta questa discussione e spendendo energie probabilmente senza che all'OP interessi minimamente. Chi ce lo fa fare
Premesso che sono più che convinto che all'OP non interessi proprio nulla di quanto stiamo discutendo, l'interesse è mio!
Se sbaglio, gradirei sapere dove e perché; non ho più l'età (e il tempo) per studiare e ridare l'esame di Fisica2.
... ad ogni modo, non voglio stressarti, possiamo anche chiudere qui il dialogo.
Non ho separato i moti rispetto agli assi, ho separato i moti proprio. Comunque per quella velocità sicuramente la mia risoluzione geometrica non va più bene perché la deflessione "supera" la semidistanza tra le armature quindi il calcolo che ho fatto proiettando sulla circonferenza non è più valido. Di conseguenza anche il calcolo sul tempo non ha significato perché non ci arriva la particella lì ma ci sbatte prima e quindi in quel caso sì, l'unico modo sarebbe studiare il sistema in modo completo come hai fatto tu. Nah, nessuno stress, anche a me piace capire. Ma ripeto non credo che abbia sbagliato qualcuno, semplicemente il mio risultato è molto più limitato nel suo campo di validità perché non ho ricavato davvero le equazioni del moto, mi sono limitato a valutare i punti che mi interessavano rispetto alla richiesta e ai dati e ci sono riuscito con ottima approssimazione visto che parliamo di quarta cifra decimale. Se anche per la velocità data dall OP ci avesse sbattuto sopra avrei dovuto seguire per forza la strada standard. Non penso proprio che tu abbia bisogno di nessuna revisione di Fisica 2, anzi
Ah, bene, se per te non è uno stress,.... io continuo a "rompere". ... mandami pure a quel paese.
E questa "separazione dei moti" a cosa ha portato? ... Cosa ti ha permesso di affermare, oltre alla tua (per me) criptica affermazione
Le armature possiamo anche toglierle e ipotizzare un campo elettrico verticale, uniforme e uguale al precedente; il raggio di ciclotrone, pur ridotto a 0.2 metri, è ancora sufficientemente grande rispetto all'armatura per permettere la tua risoluzione geometrica.
Ma scusa, mi sembrava di aver capito che la "separazione dei moti", portasse ad una soluzione di validità generale, non ad una approssimazione. Non dicevi forse che
Certo, sei riuscito perché i dati lo hanno permesso [nota]Sostanzialmente lo sviluppo del termine in coseno della velocità porta, per quel tempo di transito, ad avere una velocità \(v_x(t)\approx v_0(1-(\omega t)^2/2) \approx v_0\).[/nota], ma avresti dovuto dare una spiegazione del perché poteva venir usata quella approssimazione.
Scusa se continuo a ribattere, ma purtroppo son fatto in questo modo, fino a quando non mi chiarisco le idee, non riesco a stare tranquillo.
... mandami pure a quel paese. "Nikikinki":
Non ho separato i moti rispetto agli assi, ho separato i moti proprio.
E questa "separazione dei moti" a cosa ha portato? ... Cosa ti ha permesso di affermare, oltre alla tua (per me) criptica affermazione
"Nikikinki":
Visto che i campi sono formalmente disaccoppiati si possono comporre i moti anche studiando una traiettoria per volta.
"Nikikinki":
Comunque per quella velocità sicuramente la mia risoluzione geometrica non va più bene perché la deflessione "supera" la semidistanza tra le armature ...
Le armature possiamo anche toglierle e ipotizzare un campo elettrico verticale, uniforme e uguale al precedente; il raggio di ciclotrone, pur ridotto a 0.2 metri, è ancora sufficientemente grande rispetto all'armatura per permettere la tua risoluzione geometrica.
"Nikikinki":
... semplicemente il mio risultato è molto più limitato nel suo campo di validità perché non ho ricavato davvero le equazioni del moto, ...
Ma scusa, mi sembrava di aver capito che la "separazione dei moti", portasse ad una soluzione di validità generale, non ad una approssimazione. Non dicevi forse che
... Dato che il problema di Cauchy è ben determinato, la soluzione è unica; quindi trovata una, non ce ne sono altre. Per questo i nostri risultati coincidono,...
"Nikikinki":
... mi sono limitato a valutare i punti che mi interessavano rispetto alla richiesta e ai dati e ci sono riuscito con ottima approssimazione visto che parliamo di quarta cifra decimale.
Certo, sei riuscito perché i dati lo hanno permesso [nota]Sostanzialmente lo sviluppo del termine in coseno della velocità porta, per quel tempo di transito, ad avere una velocità \(v_x(t)\approx v_0(1-(\omega t)^2/2) \approx v_0\).[/nota], ma avresti dovuto dare una spiegazione del perché poteva venir usata quella approssimazione.
Scusa se continuo a ribattere, ma purtroppo son fatto in questo modo, fino a quando non mi chiarisco le idee, non riesco a stare tranquillo.
Sì il concetto di separare i moti vale in generale, ma poi uno dei due moti io non l'ho risolto, ho solo considerato che ad un certo tempo potevo proiettare, rispetto ad un punto "semplice da individuare", sulla circonferenza e quel punto trovato sulla circonferenza faceva ancora parte dell'insieme di definizione del problema perché la particella era nel condensatore. Non possiamo concettualmente "togliere" il condensatore e dire che la mia proiezione vale ancora. La risoluzione geometrica varrebbe, vero, ma dovrei proiettare rispetto non più ad $x=L$ ma ad un punto compreso tra [0,L] il che richiederebbe una "premura geometrica" maggiore per trovare il punto giusto, quindi il gioco non vale la candela per questo dico che a qual punto tanto varrebbe spendere qualche minuto per ricavare le equazioni complete e stop. Ora che ci penso avrei dovuto verificare che lo spazio delle coordinate non avesse bisogno di una normalizzazione a causa della scomposizione e di questa cosa non ho tenuto conto. Quindi, visto i risultati ottenuti, o le normalizzazioni eventuali si sono compensate o a causa dei dati non hanno inciso molto sul risultato. Ma per amor di completezza andrebbe verificato. Fino al fine settimana sarò in viaggio quindi non ho tempo/modo di mettermi per chiarire questo dubbio , ma lo farò comunque appena mi sarà possibile.
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