Campo Elettrico e Magnetico
Ciao ragazzi, sono di nuovo io alle prese con un altro esercizio di fisica 2 che mi desta perplessità. Il testo dice:
Una carica $Q=10^-2 C$ avente massa $m=0,004 Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20 m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ e distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la d.d.p tra le armature è $V=10V$, determinare:
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio.
Innanzitutto so che la parabola che si viene a creare al momento dell'uscita dell'elettrone dal condensatore ha una concavità rivolta verso l'alto, perchè la carica in moto è positiva.
Dalla teoria so che $E=((ΔV)/d)=10/(0,02)=500 N/C$.
So, inoltre, che al momento dell'entrata nel campo elettrico la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Dividendo il moto nelle due componenti ottengo che lungo le ascisse la particella ha moto rettilineo uniforme, quindi $x=v*t$, mentre lungo le ordinate è presente un moto uniformemente accelerato, quindi $y=1/2*a*t^2$.
Con le dovute sostituzioni ottengo che $Δy= 1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))=1/2*((500*10^-2)/(0,004))*((0,005^2)/20^2)=3,9*10^-3 m.$
Sono abbastanza sicura di questo punto ma non so se sto dimenticando qualcosa.
Per quanto riguarda il secondo punto invece, so che una particella che si trova a passare in una zona di spazio dove sia presente un campo elettrico e un campo magnetico risente sia della forza elettrica che della forza magnetica. La forza totale risulta essere elettromagnetica: $Fl=(q*E)+(q*v*B)$
Se il campo elettrico e magnetico sono confinati all'interno di un condensatore, il campo elettrico è diretto verticalmente e quello magnetico è normale alla pagina. La particella si muove di una traiettoria elicoidale di cui posso determinare il raggio, che risulta essere:
$r=(m*v)/(q*B)=0,8m$
Non ho altre idee su come muovermi in questo punto del problema...
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di spiegarmi cosa dovrei fare.
Una carica $Q=10^-2 C$ avente massa $m=0,004 Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20 m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ e distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la d.d.p tra le armature è $V=10V$, determinare:
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore
-la distanza Δy dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio.
Innanzitutto so che la parabola che si viene a creare al momento dell'uscita dell'elettrone dal condensatore ha una concavità rivolta verso l'alto, perchè la carica in moto è positiva.
Dalla teoria so che $E=((ΔV)/d)=10/(0,02)=500 N/C$.
So, inoltre, che al momento dell'entrata nel campo elettrico la particella si muove di moto rettilineo uniforme. Dividendo il moto nelle due componenti ottengo che lungo le ascisse la particella ha moto rettilineo uniforme, quindi $x=v*t$, mentre lungo le ordinate è presente un moto uniformemente accelerato, quindi $y=1/2*a*t^2$.
Con le dovute sostituzioni ottengo che $Δy= 1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))=1/2*((500*10^-2)/(0,004))*((0,005^2)/20^2)=3,9*10^-3 m.$
Sono abbastanza sicura di questo punto ma non so se sto dimenticando qualcosa.
Per quanto riguarda il secondo punto invece, so che una particella che si trova a passare in una zona di spazio dove sia presente un campo elettrico e un campo magnetico risente sia della forza elettrica che della forza magnetica. La forza totale risulta essere elettromagnetica: $Fl=(q*E)+(q*v*B)$
Se il campo elettrico e magnetico sono confinati all'interno di un condensatore, il campo elettrico è diretto verticalmente e quello magnetico è normale alla pagina. La particella si muove di una traiettoria elicoidale di cui posso determinare il raggio, che risulta essere:
$r=(m*v)/(q*B)=0,8m$
Non ho altre idee su come muovermi in questo punto del problema...
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di spiegarmi cosa dovrei fare.
Risposte
Direi ok per il primo punto (typo e "elettrone" a parte), ma per il secondo ...
... direi proprio di no, la forza relativa al campo magnetico è complanare a quella relativa al campo elettrico e penso che ti convenga scomporla lungo i due assi.
"iMèè":
... Se il campo elettrico e magnetico sono confinati all'interno di un condensatore, il campo elettrico è diretto verticalmente e quello magnetico è normale alla pagina. La particella si muove di una traiettoria elicoidale
... direi proprio di no, la forza relativa al campo magnetico è complanare a quella relativa al campo elettrico e penso che ti convenga scomporla lungo i due assi.
Eh ma poi una volta scomposta come mi muovo? Non riesco proprio a capire cosa fare 
Fai quello che hai fatto per il primo punto, ovvero dalle forze le accelerazioni e da queste i moti nelle due direzioni.
Ah ok allora credo di aver capito, ci provo e poi posto l'esito! Grazie in anticipo a tutti!! 
Allora, ho provato a fare quello che mi hai suggerito. Abbiamo detto che, visto che la carica si trova immersa, all'uscita delle armature del condensatore, sia in un campo elettrico che magnetico, la forza totale che agisce su di essa risulta essere elettromagnetica e quindi uguale a:
$Ft=(q*E)+(q*v*B)$
Ora, so che l'accelerazione della particella nel campo elettrico risulta essere uguale a $a=((E*q)/m)$, mentre quella nel campo magnetico è uguale a $a=m*((v^2)/r)$.
Visto che la mia particella si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato ed è immersa in entrambi i campi elettrico e magnetico, posso dire che è soggetta a entrambe le accelerazioni e quindi l'accelerazione totale è data dalla somma delle due.
In questo caso so che la formula del moto rettilineo uniforme è data da $Δy=(1/2)*a*t^2$, e andando a sostituire ottengo:
$Δy=(1/2)*(((E*q)/m)+(v^2/r))*((L^2)/v0^2)=5,46*10^-3 m.$
Sono riuscita a pensarla solo così ma continuo a non essere molto sicura di aver capito bene. E un'altra cosa che mi perplime è il fatto di non aver utilizzato tutti i dati che mi mette a disposizione il testo, come ad esempio la costante di permeabilità magnetica.
$Ft=(q*E)+(q*v*B)$
Ora, so che l'accelerazione della particella nel campo elettrico risulta essere uguale a $a=((E*q)/m)$, mentre quella nel campo magnetico è uguale a $a=m*((v^2)/r)$.
Visto che la mia particella si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato ed è immersa in entrambi i campi elettrico e magnetico, posso dire che è soggetta a entrambe le accelerazioni e quindi l'accelerazione totale è data dalla somma delle due.
In questo caso so che la formula del moto rettilineo uniforme è data da $Δy=(1/2)*a*t^2$, e andando a sostituire ottengo:
$Δy=(1/2)*(((E*q)/m)+(v^2/r))*((L^2)/v0^2)=5,46*10^-3 m.$
Sono riuscita a pensarla solo così ma continuo a non essere molto sicura di aver capito bene. E un'altra cosa che mi perplime è il fatto di non aver utilizzato tutti i dati che mi mette a disposizione il testo, come ad esempio la costante di permeabilità magnetica.
"iMèè":
Allora, ho provato a fare quello che mi hai suggerito. Abbiamo detto che, visto che la carica si trova immersa, all'uscita delle armature del condensatore, sia in un campo elettrico che magnetico, la forza totale che agisce su di essa risulta essere elettromagnetica e quindi uguale a:
$Ft=(q*E)+(q*v*B)$
Non mi sembra che tu abbia seguito i miei consigli, la forza di Coulomb-Lorentz è una relazione vettoriale
$\mathbf{F}_t=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$
e quindi non puoi andare a sommare le forze (o le accelerazioni) scalarmente; proprio per questa ragione io ti avevo consigliato di separare le componenti lungo i due assi.
"iMèè":
... un'altra cosa che mi perplime è il fatto di non aver utilizzato tutti i dati che mi mette a disposizione il testo, come ad esempio la costante di permeabilità magnetica.
Vuoi forse dirmi che ci sono dati che non hai riportato nel testo postato?
... una cosa interessante da sapere è comunque il verso del campo elettrico rispetto a quello magnetico; il testo era forse corredato da un'immagine?
Purtroppo non c'è nessuna immagine e l'unica cosa che so è che il campo magnetico è perpendicolare al campo elettrico e il verso è quello uscente dal foglio... Comunque i dati che mi vengono forniti li ho riportati tutti ad eccezione, appunto, della costante di permeabilità magnetica che mi era sfuggita e ci ho fatto caso solo prima 
[strike]Bene, anzi male, non ti resta che sceglire tu il verso del campo elettrico, e poi andare avanti[/strike]; la permeabilità in questo caso non c’entra nulla, visto che abbiamo una carica che si muove fra le armature di un condensatore, direi che ci dobbiamo per forza trovare nel vuoto, no? ... quale permeabilità è riportata nel testo? ... e di che testo si tratta?
Non è nessun testo, è una prova di esame vecchia che sto svolgendo.. E la permeabilità che mi viene riportata fra i dati è $μ0=4π*10^-7 Wb/Am^2$.
Comunque io so che una carica positiva viene accelerata nella direzione del campo elettrico e viene curvata nella direzione perpendicolare al piano formato da $v$ e dal campo magnetico... però quando mi trovo a scegliere il verso mi trovo in completa confusione...
Comunque io so che una carica positiva viene accelerata nella direzione del campo elettrico e viene curvata nella direzione perpendicolare al piano formato da $v$ e dal campo magnetico... però quando mi trovo a scegliere il verso mi trovo in completa confusione...
Scusami, ho visto solo ora che nel testo c'è scritto "verso l'alto", non lo avevo visto.
Scusami ma continuo a non capire come devo svolgere quel punto, trovo difficoltà a capire come dover scomporre le forze e anche quel prodotto vettoriale $v$ vettore $B$ mi manda in crisi 
Ah aspetta, forse ci sono.. Cercando in rete ho visto che Thomson fece un esperimento di una particella carica immersa in un campo elettrico e magnetico. La scomposizione dei moti risulta essere:
lungo x: $∆x=((E/B)*t)+(v0-(E/B))*(sin(B*t)/B)$
lungo y: $∆y=(v0-(E/B))*((cos(B*t)-1)/B)$
mi basta sostituire la t, essendo uguale a $t=L/(v0)$ e quindi poi ottengo la mia ∆y... credo
lungo x: $∆x=((E/B)*t)+(v0-(E/B))*(sin(B*t)/B)$
lungo y: $∆y=(v0-(E/B))*((cos(B*t)-1)/B)$
mi basta sostituire la t, essendo uguale a $t=L/(v0)$ e quindi poi ottengo la mia ∆y... credo
"iMèè":
Ah aspetta, forse ci sono.. Cercando in rete ho visto che Thomson fece un esperimento di una particella carica immersa in un campo elettrico e magnetico. La scomposizione dei moti risulta essere: ...
Scusa ma non capisco dimensionalmente quelle relazioni, e in ogni caso dovresti saper ricavartele, non credi?
Come ti dicevo, io partirei andando a scrivere la forza di Coulomb-Lorentz esplicitando le tre (facciamo i difficili)
componenti in x, y e z, ovvero$(F_x,F_y,F_z)=Q[(0,E_y,0)+(v_x,v_y,v_z)\times (0,0,B_z)]$
risulterà poi facile andare a scrivere separatamente le componenti della forza lungo i tre assi, anche se sappiamo già che saranno non nulle solo la $F_x$ e la $F_y$, e da queste le due accelerazioni e da queste ancora, le due equazioni differenziali dei due moti.
"iMèè":
... mi basta sostituire la t, essendo uguale a $t=L/(v0)$ e quindi poi ottengo la mia ∆y... credo
Credo proprio di no, visto che lungo x la velocità non sarà di certo costante e pari a quella iniziale.
Se quelle due fossero le equazioni del moto, dovresti usare la prima con $\Delta x=L$ per ottenere il tempo di transito e poi usare quel tempo nella seconda per ottenere la $\Delta y$ all'uscita dalle armature.
Abbandonato o in elaborazione?
In realtà mi ci sono rimessa giusto ieri a ragionarci su, ma non ero sicura di postare la soluzione ahaha comunque, ho pensato di calcolarmi il raggio dalla relazione
$R=(m*v)/(q*B)$
poi, visto che il campo magnetico è ortogonale alla velocità, il moto dovrebbe essere circolare uniforme che curva verso il basso.. mi viene quindi da pensare che la particella curva su un arco di circonferenza...
quindi pensavo di calcolarmi la deflessione del campo magnetico per via geometrica e mi viene una cosa tipo
$Δy=R-sqrt(R^2-L^2)$ che però viene di segno negativo perchè curva verso il basso
Alla fine mi calcolo la deflessione totale sommando le deflessioni trovate prima, quella del campo elettrico e magnetico, però facendo attenzione ai segni, e quindi ottengo una cosa tipo:
$ΔY=[(1/2)*((E*q)/m)*(L^2/(vo^2))]-[R-sqrt(R^2-L^2)]$
Spero finalmente di aver capito
$R=(m*v)/(q*B)$
poi, visto che il campo magnetico è ortogonale alla velocità, il moto dovrebbe essere circolare uniforme che curva verso il basso.. mi viene quindi da pensare che la particella curva su un arco di circonferenza...
quindi pensavo di calcolarmi la deflessione del campo magnetico per via geometrica e mi viene una cosa tipo
$Δy=R-sqrt(R^2-L^2)$ che però viene di segno negativo perchè curva verso il basso
Alla fine mi calcolo la deflessione totale sommando le deflessioni trovate prima, quella del campo elettrico e magnetico, però facendo attenzione ai segni, e quindi ottengo una cosa tipo:
$ΔY=[(1/2)*((E*q)/m)*(L^2/(vo^2))]-[R-sqrt(R^2-L^2)]$
Spero finalmente di aver capito
La mia idea era, come ti dicevo, quella di seguire la strada della scomposizione, ovvero ricavate le componenti della forza dalla relazione vettoriale del mio precedente post
$F_x=QBv_y$
$F_y=QE-QBv_x$
andare a risolvere il sistema delle due conseguenti equazioni differenziali
$\dot{v}_x=\frac{QB}{m}v_y$
$\dot{v}_y=\frac{QE}{m}-\frac{QB}{m}v_x$
per ottenere le due velocità $v_x(t)$ e $v_y(t)$, e da queste $x(t)$ e $y(t)$.
A pensarci bene però, forse sarebbe più rapido "salire" su un diverso sistema di riferimento che, traslando lungo x vada a "compensare" la forza del campo elettrico e renda possibile una successiva composizione dei due moti.
$F_x=QBv_y$
$F_y=QE-QBv_x$
andare a risolvere il sistema delle due conseguenti equazioni differenziali
$\dot{v}_x=\frac{QB}{m}v_y$
$\dot{v}_y=\frac{QE}{m}-\frac{QB}{m}v_x$
per ottenere le due velocità $v_x(t)$ e $v_y(t)$, e da queste $x(t)$ e $y(t)$.
A pensarci bene però, forse sarebbe più rapido "salire" su un diverso sistema di riferimento che, traslando lungo x vada a "compensare" la forza del campo elettrico e renda possibile una successiva composizione dei due moti.
Quindi posso considerarla giusta la risoluzione che ti ho dato poco fa? Perchè non ci sarei mai arrivata a farlo come mi dicevi tu, ma ieri con un mio amico la abbiamo pensata nel modo che ti ho detto oggi, ma continuavamo a non esserne sicuri
"iMèè":
Quindi posso considerarla giusta la risoluzione che ti ho dato poco fa? ...
Non ne ho idea, anche se il discorso non mi convince proprio ... non è che possieda la sfera di cristallo.
"iMèè":
... ma continuavamo a non esserne sicuri
E fate bene a non esserlo, ... non vi resta che seguire la strada che vi ho consigliato, e verificare se porta agli stessi risultati.
PS -------------------------------------------
Giusto per mia curiosità, ho provato a seguire la strada della scomposizione, che mi sembrava più "sicura" (anche se più lunga) e dopo qualche passaggio, indicando con \(\omega =QB/m\), con \(r=E/(B\omega)\) e con \(r_0= v_0/\omega = v_0 m/(QB)\) il raggio di ciclotrone associato alla velocità di ingresso, sono pervenuto (salvo errori) alle seguenti relazioni
$x(t)=\frac{E}{B}t+(r_0-r) \sin(\omega t)$
$y(t)=(r_0-r) (\cos(\omega t)-1)$
Che confermano il fatto che, se $v_0$ fosse stata nulla [nota]Mentre invece se \(v_0=E/B\), andando ad uguagliare le due forze (e i due raggi), la traiettoria sarebbe risultata esclusivamente orizzontale.[/nota], potevamo ipotizzare un sistema di riferimento in moto rispetto al laboratorio con velocità $\mathbf{v}_r=E/B\mathbf{u}_x$ tale da "compensare" (come in precedenza detto) la forza del campo elettrico, ovvero far sì che la relazione
$\mathbf{F} =Q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})=Q(\mathbf{E}+(\mathbf{v_r}+\mathbf{v_i})\times \mathbf{B})$
porti, nel nuovo riferimento, a poter considerare solo il campo magnetico, ovvero
$\mathbf{F} =Q \mathbf{v_i}\times \mathbf{B}$
e quindi ad un moto circolare uniforme, con un raggio di ciclotrone $r=\frac{mv_i}{QB}$
e una pulsazione di ciclotrone $\omega={QB}/m$ , per poi procedere a una composizione dei due moti.
---------------
Lascio a te il compito di trovare i probabili errori.
Lascio a te anche il compito di ricavare il tempo di transito $t_t$ fra le armature (sempre che la carica non vada prima a cozzarci contro), andando a risolvere $x(t)=L$, per poi ottenere la $\Delta y=y(t_t)$ in uscita dal condensatore.
BTW Da dove arriva questo problema?
Ho come un dejavu, ma questo problema non era stato già posto da un altro tizio? Ci avevo risposto giusto qualche giorno fa
Hai ragione, ma in questo caso il campo elettrico e magnetico sono presenti contemporaneamente nello spazio interno al condensatore, almeno così mi sembrava di aver capito, anche dagli interventi dell'OP, mentre in quello a cui ti riferisci no, sempre che sia il seguente
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=200410&p=8419493#p8419493.
In effetti i dati sono gli stessi, mah, non so cosa pensare, se non che ho perso altro tempo prezioso.
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=200410&p=8419493#p8419493.
In effetti i dati sono gli stessi, mah, non so cosa pensare, se non che ho perso altro tempo prezioso.
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