Campo elettrico e distribuzione di carica associati ad un potenziale elettrico.

[jellybean22]

Buona sera a tutti; come da titolo avrei alcune difficoltà nel capire il risultato del seguente esercizio:

Determinare il campo elettrico e la distribuzione di carica associati al potenziale elettrico:

$phi(x)=\{(0 if x<0),((\rho_0x^2)/(2epsilon_0) if 0
Facilmente arrivo al fatto che :

$\vec E(x)=\{((-\rho_0x)/epsilon_0 \hat x if 0l):}$

Questo ovviamente deriva dal fatto che $\vec E=-\vec \grad phi$
Per calcolare la distribuzione di carica associata mi basta utilizzare la legge di Gauss in forma differenziale che afferma che:

$\vec \grad *\vec E=\rho/epsilon_0$ da cui ottengo che per $0 Nel risultato noto che è presente anche una densità di carica superficiale distribuita sul piano $x=l$; questo è reso lecito dal fatto che il campo elettrico è diretto verso le x decrescenti. Tuttavia non mi ritrovo col risultato e soprattutto non riesco a costruire la situazione fisica che mi da il seguente campo elettrico! (E quindi il potenziale associato). Purtroppo sono un tipo che se non tocca con mano non crede.

Spero che qualcuno di voi riesca a darmi una mano. Ci sto sbattendo da giorni oramai!

Grazie a tutti

[jellybean22]

Up!

[anonymous_af8479]

Sei in tre dimensioni! La distribuzione della densità di carica è nulla nei semispazi $x<0$ e $x>l$, mentre è costante fra i piani $x=0$ e $x=l$. Si tratta quindi di un parallelepipedo spesso $l$ ed esteso infinitamente nelle altre due dimensioni.

[jellybean22]

Il fatto è che dovrei dimostrare che esiste una densità di carica superficiale sul piano $x=l$ . In effetti graficando la funzione potenziale mi rendo conto che c'è un punto di cuspide e di conseguenza il campo elettrico avrà un punto di non derivabilità. Resta solo da calcolare il valore effettivo di tale densità!

[anonymous_af8479]

Ci sarà lo zampino della delta di Dirac... Quello che mi stupisce di questo esercizio è che il potenziale non è un funzione liscia e che non si annulla all'infinito...

[Cmax1]

Alcune considerazioni:
- che il potenziale non si annulli all'infinito non è strano: siamo in presenza di distribuzioni infinite di carica, in questi casi può anche divergere
- il campo è nullo per $x<0$ e $x>l$. Siamo in simmetria piana, e se per applicare il teorema di Gauss prendiamo un cilindro bla bla bla qual è la carica netta totale che vi deve essere contenuta? Ovviamente nulla: un termine di volume lo hai calcolato, deve esserci un altro termine che lo compensa
- dove sta questo termine? ancora secondo i tuoi calcoli, il campo elettrico ha una discontinuità per $x=l$, la carica superficiale va cercata lì.

[anonymous_af8479]

Giustissimo, Cmax! Ci dovrà allora essere una densità superficiale di carica positiva $\rho_0 l$...

[jellybean22]

Numericamente come ci arrivo?

[anonymous_af8479]

Prendo un parallelepipedo con due facce di area $S$ ed altezza $l$. Perchè il campo sia nullo fuori, bisogna che la carica totale contenuta in quel volume sia nulla. Ma quel volume (escluse le facce) contiene la carica $- \rho_0 S l$ per cui sulla faccia (che sta sul piano $x = l$) deve starci una carica opposta. La densità superficiale di carica sarà allora $+ \rho_0 S l / S = \rho_0 l$. Spero sia giusto

[jellybean22]

Il parallelopipedo è esteso orizzontalmente? Cioè racchiude una zona di volume che va da 0 ad l?

Grazie mille dell'aiuto comunque

[anonymous_af8479]

È un mattone della distribuzione infinita di cui stiamo parlando... $l$ è lo spessore...