Campo elettrico dovuto a quadrupolo
Ciao, amici! Avendo una carica $-2q$ nell'origine, una carica $+q$ in $z=a$ e una carica $+q$ in $z=-a$, leggo che il campo elettrico decresce, sia sull'asse delle $z$ sia sul piano ortogonale a tale asse, con $r^{-4}$, dove $r$ è la distanza dal dipolo, per \(r\gg a\).
Chiamo per brevità $E_1$ ed $E_2y$ le componenti, del campo sull'asse rispettivamente delle $z$ e delle $y$, relative ai rispettivi assi, che sono anche le uniche non nulle dei due campi, direi. Trovo\[E_1=kq\Bigg(\frac{1}{(z-a)^2}+\frac{1}{(z+a)^2}-\frac{2}{z^2} \Bigg)\text{sgn}(z)\]\[E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)\]
Però non riesco a trovare approssimazioni per \(|z|\gg a\) e \(|y|\gg a\) che mi permettano di vedere come approssimativamente \(E\propto r^{-4}\).
Ringrazio di cuore chiunque mi aiuti a trovare un modo opportuno per rilevare questa proporzionalità approssimativa.
Chiamo per brevità $E_1$ ed $E_2y$ le componenti, del campo sull'asse rispettivamente delle $z$ e delle $y$, relative ai rispettivi assi, che sono anche le uniche non nulle dei due campi, direi. Trovo\[E_1=kq\Bigg(\frac{1}{(z-a)^2}+\frac{1}{(z+a)^2}-\frac{2}{z^2} \Bigg)\text{sgn}(z)\]\[E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)\]
Però non riesco a trovare approssimazioni per \(|z|\gg a\) e \(|y|\gg a\) che mi permettano di vedere come approssimativamente \(E\propto r^{-4}\).
Ringrazio di cuore chiunque mi aiuti a trovare un modo opportuno per rilevare questa proporzionalità approssimativa.
Risposte
"DavideGenova":
... Però non riesco a trovare approssimazioni per \(|z|\gg a\) e \(|y|\gg a\) che mi permettano di vedere come approssimativamente \(E\propto r^{-4}\).
Mai fatto uno sviluppo in serie di Laurent?
... ad ogni modo, uno sviluppo binomiale [nota]Come hai fatto nel precedente 3D sulla carica oscillante metti in evidenza a denominatore il termine dominante; questa volta è z o y.[/nota] ti sarà di certo familiare! ... ovviamente per la prima relazione si possono anche semplicemente sommare i termini dentro parentesi.
Grazie per la risposta!!! Il problema è che, per il primo, calcolo\[ E_1=kq\Bigg(\frac{1}{(z-a)^2}+\frac{1}{(z+a)^2}-\frac{2}{z^2} \Bigg)\text{sgn}(z)=\frac{kq}{z^2}\Bigg(\Bigg(1-\frac{a}{z}\Bigg)^{-2}+\Bigg(1+\frac{a}{z}\Bigg)^{-2}-2 \Bigg)\text{sgn}(z)\]e, utilizzando l'approssimazione \((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+o(x)\), \(x\to 0\),\[E_1=\Bigg(1+2\frac{a}{z}+1-2\frac{a}{z}+o\Bigg(\frac{a}{z}\Bigg)-2\Bigg)\text{sgn}(z)\]ma non mi convince che il campo si annulli, anche se, tecnicamente, essendo sempre nullo, è proporzionale a $r^{-4}$ 
Per quanto riguarda il secondo, calcolo \[ E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)=\frac{2kqy}{|y|^3} \Bigg(1-\frac{3}{2}\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2 +o\Bigg(\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2\Bigg)-1\Bigg) \]e ottengo un'altra espressione approssimativamente nulla...
Per quanto riguarda il secondo, calcolo \[ E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)=\frac{2kqy}{|y|^3} \Bigg(1-\frac{3}{2}\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2 +o\Bigg(\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2\Bigg)-1\Bigg) \]e ottengo un'altra espressione approssimativamente nulla...
"DavideGenova":
... e ottengo un'altra espressione approssimativamente nulla...
E' ovvio che sia approssimativamente nulla, allontanandoci sempre di più dal quadrupolo andrà a finire che il campo se ne andrà a zero, ma a noi interessa come ci andrà per distanze r >> a ; stai facendo lo stesso errore del precedente thread, dove x veniva considerato piccolo rispetto al raggio a (x << a), ma non nullo. Qui consideriamo r grande rispetto ad a, ma non infinito.
Per quanto riguarda gli sviluppi in serie non devi limitarti ai termini che vanno ad annullarsi ma devi andare un po' più avanti per poter ricavare la potenza di z cercata; per esempio, per il primo campo, dentro parentesi [nota]Occhio a non dimenticarti del fattore $1/z^2$ esterno.[/nota] avrai
$1+\frac{2a}{z}+\frac{3a^2}{z^2}+...+1-\frac{2a}{z}+\frac{3a^2}{z^2}+ ... -2=\frac{6a^2}{z^2}+...$
dipendenza asintotica che come ti dicevo, in questo caso particolare, sarebbe stata ricavabile anche dalla semplice somma dei tre termini
$\frac{6a^2y^2-2a^4}{y^2(y-a)^2(y+a)^2}$
per quanto riguarda E2, annullandosi i due termini unitari dentro parentesi, risulta evidente dalla tua relazione la dipendenza asintotica del "campo lontano" da $y^(-4)$.
BTW Quadrupolo, non quadripolo, che è un'altra cosa.
"RenzoDF":Capito. In questo modo ottengo\[E_1\approx\frac{6kqa^2}{z^4}\text{sgn}(z),\quad E_2\approx\frac{-3kqa^2}{y^4}\text{sgn}(y)\]Ciò che mi turbava è che risultasse una dipendenza da $a$, che credevo dovesse sparire per non avere appunto un termine \((a/y)^2\ll 1\)
per quanto riguarda E2, annullandosi i due termini unitari dentro parentesi, risulta evidente dalla tua relazione la dipendenza asintotica del "campo lontano" da $y^(-4)$.
"RenzoDF":
Quadrupolo, non quadripolo, che è un'altra cosa.
Grazie di tutto: corretto!
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