Campo elettrico di un settore di corona circolare

[ulissess]

Su di un settore di corona circolare (vedi figura) è distribuita una carica positiva Q con densità superficiale $\sigma$ costante. Si calcoli la densità di carica superficiale $\sigma$ ed il campo elettrico generato dalla carica nel punto P centro della corona circolare.
Si assumano per il calcolo $R_1 = 80 cm$, $R_2 =100 cm$, $\Phi=\pi/3$ e $Q=10^-8 C$


svolg:

1) $sigma=Q/(\pi/6(R_2^2-R_1^2))$

2) $dq=\sigmadS=\sigmardrd\varphi$

3) $E_y= \int_{R_1}^{R_2} \int_0^{\Phi/2} 2* 1/(4\pi\epsilon)*(\sigmacos\varphi)/rdrd\varphi$

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non ho ben capito il testo comunque, per quello che ho capito, c'è una densità di carica solo tra $R_1$ e $R_2$..
sulla 1) non ho dubbi.
sulla 2) io avevo ragionato così $dq=\sigmadS=\sigma\pi/3(R_2-R_1)dr$ (ma è totalmente sbagliato..) perchè mette $d\varphi$, che angolo è??? che ragionamento fa ?
sulla 3) capisco il primo integrale (e i suoi estremi) ma perchè un secondo?? perchè raddoppia $E_y$? mi potete far vedere come viene tracciato il campo?? grazie mille

[Falco5x]

Col tuo ragionamento del punto 2) la superficie $dS$ sarebbe costituita da un archetto di spessore infinitesimo ma di lunghezza finita, ampio $\pi/3$. Questo va bene ma non basta per calcolare il campo perché tu non sai questo archetto che campo dà in P. Allora lo devi suddividere ulteriormente in pezzettini, ciascuno lungo $rd\phi$. Questa è l'area davvero elementare, ed è quella che ti propone il libro. L'integrale interno in $d\phi$ dà proprio il campo dovuto all'arco che tu hai ipotizzato; l'integrale più esterno dà poi il campo totale sommando i campi di tutti gli archi con raggio da $R1$ a $R2$.

Entrando nel merito dell'integrale più interno, per calcolare il contributo dell'archetto si fa la considerazione che il campo è sicuramente diretto secondo la bisettrice dell'angolo per ragioni di simmetria. Allora il testo considera dei trattini d'arco simmetrici a 2 a 2 rispetto a questa bisettrice e dice che ciascuna coppia fornisce un campo $dE=2*1/(4\pi\epsilon)*(\sigmarcos\phid\phi)/r^2$. Il fattore 2 è presente perché si tratta di una coppia, il coseno rappresenta il fatto che quelle che si sommano sono solo le componenti lungo la bisettrice perché quelle ad essa ortogonali si elidono, e riguardo agli estremi di integrazione l'angolo $\phi$ (che è quello che parte dalla bisettrice e va verso uno dei due estremi) va da 0 a $\Phi/2$, cioè dalla bisettrice fino all'estremo.

[ulissess]

allora ecco un disegnino.. $\varphi$ è l'angolo tra $r$ e la bisettrice (asse y).. si vede che le componenti nell'asse x si elidono.. e mi rimangono solo le componenti sull'asse y. (il disegno è fatto male, ma è giusto per capirci) .

Ancora però non sono riuscito a capire come trova la superficie $dS$ .. ora ripensandoci avrei messo $dS=\pi/3rdrd\varphi$ ma c'è questo $\pi/3$ che non capisco perchè viene tolto!!!
Poi in altri esercizi, per esempio su un anello carico, il fattore 2 non viene messo !!

vai qui per piacere .. http://giglietto.ba.infn.it/~giglietto/didattica/fis_gen/cap23.pdf nell'8° pagina.. qui lui il campo elettrico $E_z$ non lo raddoppia!! non capisco perchè in questo esercizio il 2 ce lo mette invece nell'anello che è simile non ce lo mette. Anche perchè anche nel caso dell'anello tutto è simmetrico... grazie ancora per i tuoi aiuti!

[Falco5x]

"ulissess":ora ripensandoci avrei messo $dS=\pi/3rdrd\varphi$ ma c'è questo $\pi/3$ che non capisco perchè viene tolto!!!!

L'elemento dS è un piccolo rettangolino. Fa' conto che il settore sia piastrellato con tessere di mosaico disposte ad archi concentrici. Ogni tessera è alta $dr$ e larga $rd\varphi$. Il prodotto dei due dà la $dS$. Tu confondi l'elemento di superficie con l'intero arco che è ampio $\pi/3$, ma che invece è costituito da molte tessere di mosaico! Se tu prendessi l'intero archetto (però dovresti già conoscere il campo che lui genera) allora basterebbe fare un integrale semplice da R1 a R2. Ma qui tu non conosci il campo generato da un archetto, e allora lo devi calcolare integrando $d\varphi$ da $-\pi/6$ a $+\pi/6$. Oppure (il che è lo stesso) prendendo il doppio del contributo di una tessera, perché tu sai che dall'altra parte della bisettrice c'è una tessera uguale messa in posizione simmetrica, e integrare soltanto da 0 a $\pi/6$, che è la soluzione scelta per questo esercizio. Veniva fuori uguale se non si moltiplicava per 2 e si integrava da $-\pi/6$ a $+\pi/6$.

"ulissess":Poi in altri esercizi, per esempio su un anello carico, il fattore 2 non viene messo !!

Come ti ho spiegato sopra sono possibili varie soluzioni: o si prende il contributo dell'elemento singolo e si integra sull'intero intervallo di integrazione; oppure si prendono gli elementi di area a coppie, sfruttando alcune simmetrie del corpo, e si integra su metà intervallo di integrazione, come nel caso di questo esercizio.

[ulissess]

ho capito tutto grazie mille!! comunque l'integrale si poteva fare semplicemente tra $0$ a $\pi/3$ (senza poi moltiplicare per 2) l'importante che l'integrale racchiude tutto quello spicchio !! facendo i conti mi viene lo stesso!! grazie ancora !! è fondamentale capire, in questi esercizi, come visualizzare bene l'area infinitesima dS