Campo elettrico di un dipolo

[the.track]

Buongiorno a tutti. Avrei bisogno di una delucidazione sul come derivare il potenziale di un dipolo elettrico per ottenere l'espressione del campo elettrico da esso generato.
L'espressione del potenziale è questa ($P$ è un punto generico dello spazio):

$\phi(P)=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{\vec{p}\circ \vec{r}}{r^3}$

Vi riporto i passaggi del libro. ($\theta$ è l'angolo formato fra il dipolo e il raggio vettore)

Se vogliamo il campo elettrico dovremo calcolare il gradiente di $\phi$. La componente lungo $z$ sarà (tenuto conto, nell'ultimo passaggio, che $z=rcos \theta$)

$E_z=-\frac{\partial \phi}{\partial z}=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 }\frac{\partial}{\partial z}\frac{z}{r^3}$
$=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0} \(\frac{1}{r^3}-\frac{3z^2}{r^5} \)$
$=\frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{3cos^2\theta-1}{r^3}$.

Le mie perplessità giungono già alla prima riga delle tre. Considera la componente lungo z del raggio vettore, che è z?
Nella seconda non ho capito come derivi, più avanti non mi esprimo avendo perso il filo già qui. Se qualcuno sa delucidarmi il problema gliene sarei grato.

[Sk_Anonymous]

Il dipolo è orientato lungo l'asse $z$, quindi $vecp*vecr=pz$.

[the.track]

$r$ è il raggio vettore che congiunge $O$ al punto generico $P$. In generale pertanto non posso assumere che $\vec{r}//\vec{p}$. $\vec{r}$ avrà componenti $\vec{r}=(x,y,z)$. Essendo la derivata fatta rispetto a $z$ del prodotto scalare, prendo la solo componente lungo $z$, che appunto risulta essere $z$. Ok fin qua ok. Lo svolgimento della derivata... mi inchioda. Secondo quanto c'è scritto dovrei avere:

$\frac{\partial}{\partialz}\frac{z}{r^3}=\frac{1}{r^3}-\frac{3z^2}{r^5}$

Non capisco il calcolo effettuato. Ho provato a passare in coordinate cartesiane, ottenendo la seguente espressione:

$\frac{\partial}{\partialz}\frac{z}{\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}z\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{1}{2}}}{\(x^2+y^2+z^2 \)^3}=1-\frac{3z}{r^2}$

C'è qualcosa che non mi torna...

[Sk_Anonymous]

Hai detto che, essendo la derivata fatta rispetto a $z$ del prodotto scalare, prendo la solo componente lungo $z$, che appunto risulta essere $z$. In ogni modo, se il dipolo è posto nell'origine ed è orientato nel verso dell'asse $z$, $vecp*vecr=pz$, indipendentemente dalla variabile di derivazione. Inoltre, non dovresti parlare di componente, quello è uno scalare, al limite puoi parlare del termine che dipende da $z$. Infine, hai derivato male il denominatore come funzione composta:

$\frac{\partial}{\partialz}\frac{z}{\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{3}{2}}-3z^2\(x^2+y^2+z^2 \)^{\frac{1}{2}}}{\(x^2+y^2+z^2 \)^3}$

[the.track]

Giusto. Grazie mille, e scusa per la domanda stupida.