Campo elettrico di due fili rettilinei paralleli
Salve a tutti.
Mi servirebbe aiuto per rispondere ai seguenti quesiti di questo problema:
In fig. 1 i punti A e B rappresentano, in sezione, due fili rettilinei paralleli infinitamente lunghi, disposti
nel vuoto perpendicolarmente al piano $ xy $ , su ciascuno dei quali è distribuita uniformemente una carica
elettrica positiva di densità lineare $ lambda $ . Si suppone $ A(-a,0) $ , $ B(a,0) $ , con $ a>0) $.
1 - Determina le componenti del vettore elettrico $ vec(E) $ in un generico punto dell'asse $ x $ avente ascissa $ x $. Calcola il modulo di $ vec(E) $ nel punto $ P(2a,0) $, supponendo $ a=3,2 cm $ e $ lambda=2,0\cdot10^(-6) C/m $.
2 - Determina le componenti del vettore $ vec(E) $ in un generico punto dell'asse $ y $ avente ordinata $ y $, Calcola il modulo di $ vec(E) $ nel punto $ Q(0,2a) $, utilizzando gli stessi dati del punto precedente.
3 - Determina la funzione $ E_x(x) $, che rappresenta la componente $ x $ del campo elettrico in un punto dell'asse $ x $ di ascissa $ x $.
4 - Ricordando che il potenziale $ V(x) $ nello stesso punto soddisfa la relazione $ E_x(x)=-(dV(x))/dx $ , determina l'espressione di $ V(x) $, supponendo $ V(0)=0 $.
Per quanto riguarda il calcolo del modulo di $ vec(E) $ nei due punti indicati non dovrei avere problemi. Nei primi due punti i miei dubbi riguardano la determinazione delle componenti di $ vec(E) $, come procedereste voi?
Per gli ultimi due punti non so bene come procedere.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Mi servirebbe aiuto per rispondere ai seguenti quesiti di questo problema:
In fig. 1 i punti A e B rappresentano, in sezione, due fili rettilinei paralleli infinitamente lunghi, disposti
nel vuoto perpendicolarmente al piano $ xy $ , su ciascuno dei quali è distribuita uniformemente una carica
elettrica positiva di densità lineare $ lambda $ . Si suppone $ A(-a,0) $ , $ B(a,0) $ , con $ a>0) $.
1 - Determina le componenti del vettore elettrico $ vec(E) $ in un generico punto dell'asse $ x $ avente ascissa $ x $. Calcola il modulo di $ vec(E) $ nel punto $ P(2a,0) $, supponendo $ a=3,2 cm $ e $ lambda=2,0\cdot10^(-6) C/m $.
2 - Determina le componenti del vettore $ vec(E) $ in un generico punto dell'asse $ y $ avente ordinata $ y $, Calcola il modulo di $ vec(E) $ nel punto $ Q(0,2a) $, utilizzando gli stessi dati del punto precedente.
3 - Determina la funzione $ E_x(x) $, che rappresenta la componente $ x $ del campo elettrico in un punto dell'asse $ x $ di ascissa $ x $.
4 - Ricordando che il potenziale $ V(x) $ nello stesso punto soddisfa la relazione $ E_x(x)=-(dV(x))/dx $ , determina l'espressione di $ V(x) $, supponendo $ V(0)=0 $.
Per quanto riguarda il calcolo del modulo di $ vec(E) $ nei due punti indicati non dovrei avere problemi. Nei primi due punti i miei dubbi riguardano la determinazione delle componenti di $ vec(E) $, come procedereste voi?Per gli ultimi due punti non so bene come procedere.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Risposte
Ti mostro il mio ragionamento.
Anzi tutto $\vec E$ dipende solamente da $\vec r$ (vettore funzione di (x,y)) e avrà direzione e verso concordi al versore $\hat r$, se consideri separatamente ciascun filo. Questo per la simmetria di ciascuna distribuzione di carica.
per -a < x < a: tutte le componenti di $\vec E(r)$ si annullano, perché le due $\lambda$ generano ciascuna un campo eletrrico uguale e opposto a quello dell'altra
per x>a: ho ricavato due funzioni campo elettrico, ognuna generata da ciascun filo agente separatamente. Per la sovrapposizione degli effetti, una carica di prova posta in un punto generico P(x>a ; y) risentirà di un campo elettrico totale pari a: $\vec E_A(r_A)$ + $\vec E_B(r_B)$
Ricaviamo ad esempio $\vec E(r_B)$.
Per la legge di Gauss si ha:
\( \int_\Sigma\vec E_B(r_B) \text{d} \Sigma\ = \lambda h / \epsilon_0 \)
dove al primo membro hai il flusso del campo elettrico generato dal filo B attraverso la superficie gaussiana cilindrica $\Sigma$ coassiale al filo, di raggio $r$ e altezza $h$; al secondo membro hai la carica contenuta in $Sigma$, ossia $lambda$ per la porzione di filo contenuta dalla superficie. Nota che il flusso uscirà dalla superficie gaussiana solo dalla metà "a destra" del filo B, anche perché la funzione che stiamo ricavando non è definita per x
\( \vec E_B(r_B) = \frac{\lambda \hat r_B} {2 \pi \epsilon_0 r_B}\)
La componente lungo x si ricava con:
\(E_{B,x}(x,y) = \frac{\lambda } {2 \pi \epsilon_0 } \frac{x-x_B}{[(x-x_B)^2+(y-y_B)^2]^\frac{3}{2}}\)
dove $(x_B,y_B)$ sono le coordinate del filo B
Un ragionamento analogo per $E_A$, che sarà funzione della distanza $r_A$, e nel complesso, rifai tutto per x<-a, dove il campo elettrico totale dovrebbe essere uguale e opposto a quello per x>a.
Punto 3: non ho capito bene sinceramente, fossi in te chiederei al prof. ma la funzione $E_x(x)$ dovrebbe essere la funzione \(E_{B,x}(x,y) + E_{A,x}(x,y) \) in cui poni $y=0$
Punto 4:
Ad esempio per x>a.
applica la definizione di potenziale:
\(V(0)-V(x) = \int_0^x E_x(x) \text{d}x \)
dividendo l' integrale in due parti, in $[0,a]$, e in $[a,x]$
Idem dall'altra parte, ricordandoti di applicare gli integrali da sinistra verso destra, e di inserire sotto ciascun integrale l'opportuna funzione $E_x(x)$ che varia al variare di $x$ (ad esempio tra -a ed a, la funzione vale zero)
Detto questo, aggiungo che non ho molta dimestichezza con i problemi a più di una dimensione, e inoltre sto studiando questi argomenti da poco, dunque mi sto ancora esercitando! Sarà gradita la conferma di terzi, ma al momento spero quanto meno di averti "ispirato" sull'impostazione del problema
Alex.
Anzi tutto $\vec E$ dipende solamente da $\vec r$ (vettore funzione di (x,y)) e avrà direzione e verso concordi al versore $\hat r$, se consideri separatamente ciascun filo. Questo per la simmetria di ciascuna distribuzione di carica.
per -a < x < a: tutte le componenti di $\vec E(r)$ si annullano, perché le due $\lambda$ generano ciascuna un campo eletrrico uguale e opposto a quello dell'altra
per x>a: ho ricavato due funzioni campo elettrico, ognuna generata da ciascun filo agente separatamente. Per la sovrapposizione degli effetti, una carica di prova posta in un punto generico P(x>a ; y) risentirà di un campo elettrico totale pari a: $\vec E_A(r_A)$ + $\vec E_B(r_B)$
Ricaviamo ad esempio $\vec E(r_B)$.
Per la legge di Gauss si ha:
\( \int_\Sigma\vec E_B(r_B) \text{d} \Sigma\ = \lambda h / \epsilon_0 \)
dove al primo membro hai il flusso del campo elettrico generato dal filo B attraverso la superficie gaussiana cilindrica $\Sigma$ coassiale al filo, di raggio $r$ e altezza $h$; al secondo membro hai la carica contenuta in $Sigma$, ossia $lambda$ per la porzione di filo contenuta dalla superficie. Nota che il flusso uscirà dalla superficie gaussiana solo dalla metà "a destra" del filo B, anche perché la funzione che stiamo ricavando non è definita per x
\( \vec E_B(r_B) = \frac{\lambda \hat r_B} {2 \pi \epsilon_0 r_B}\)
La componente lungo x si ricava con:
\(E_{B,x}(x,y) = \frac{\lambda } {2 \pi \epsilon_0 } \frac{x-x_B}{[(x-x_B)^2+(y-y_B)^2]^\frac{3}{2}}\)
dove $(x_B,y_B)$ sono le coordinate del filo B
Un ragionamento analogo per $E_A$, che sarà funzione della distanza $r_A$, e nel complesso, rifai tutto per x<-a, dove il campo elettrico totale dovrebbe essere uguale e opposto a quello per x>a.
Punto 3: non ho capito bene sinceramente, fossi in te chiederei al prof. ma la funzione $E_x(x)$ dovrebbe essere la funzione \(E_{B,x}(x,y) + E_{A,x}(x,y) \) in cui poni $y=0$
Punto 4:
Ad esempio per x>a.
applica la definizione di potenziale:
\(V(0)-V(x) = \int_0^x E_x(x) \text{d}x \)
dividendo l' integrale in due parti, in $[0,a]$, e in $[a,x]$
Idem dall'altra parte, ricordandoti di applicare gli integrali da sinistra verso destra, e di inserire sotto ciascun integrale l'opportuna funzione $E_x(x)$ che varia al variare di $x$ (ad esempio tra -a ed a, la funzione vale zero)
Detto questo, aggiungo che non ho molta dimestichezza con i problemi a più di una dimensione, e inoltre sto studiando questi argomenti da poco, dunque mi sto ancora esercitando! Sarà gradita la conferma di terzi, ma al momento spero quanto meno di averti "ispirato" sull'impostazione del problema
Alex.
"Alex96_":
... per $-a lt x lt a$ tutte le componenti di $vecE(r)$ si annullano, perché le due $\lambda$ generano ciascuna un campo elettrico uguale e opposto a quello dell'altra ...
Non proprio, volendo usare un eufemismo. Basti pensare che, per considerazioni di simmetria, sull'asse y:
$x=0$
escludendo l'origine, dove il campo elettrico è effettivamente nullo, quest'ultimo è diverso da zero e diretto lungo l'asse y medesimo. Inoltre, se anche si considerasse l'asse x:
$y=0$
il campo elettrico (come prima, escludendo l'origine), per la maggiore vicinanza di uno dei due fili, è ancora diverso da zero e diretto lungo l'asse x medesimo.
P.S.
Più in generale, nella striscia sottostante:
$-a lt x lt a$
il campo elettrico è nullo solo nell'origine.
"Alex96_":
Ti mostro il mio ragionamento.
Grazie per l'aiuto, prenderò spunto dal tuo ragionamento per risolvere i quesiti.
Ma quindi quando viene richiesto di determinare le componenti prima lungo x e poi ungo y, in punti generici di ascissa x ed ordinata y, dovrei proprio "disegnare" i vettori?
Ciao, anche io ho lo stesso problema da risolvere ma non so proprio come procedere per nessuno dei punti... ti volevo chiedere se fossi cosi gentile nel riuscire a passarmi la tua risoluzione o comunque spiegarmi come calcolare il campo nei primi punti perchè davvero sono disperata... Qualunque sia la risposta, grazie in anticipo!
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