Campo elettrico di cariche puntiformi

[Jhons1]

Un tipo di quadrupolo elettrico è formato da quattro cariche poste ai vertici di un quadrato di lato $2a$. Un punto $P$ si trova ad una distanza $x$ dal centro del quadrupolo su una linea parallela a due lati opposti del quadrato. Per $x$ molto maggiore di $a$, mostrare che il campo elettrico nel punto $P$ è dato approssimativamente da

$E=(3(2qa^2))/(2\pi\epsilon_0 x^4)$.

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La cosa più plausibile sarebbe considerare il quadrupolo come due dipoli. Si ricava che il campo elettrico generato dal singolo dipolo elettrico è

$E=k(p)/([x^2+(a/2)^2]^(3/2))$,

ove qui con $x$ indico la distanza tra $P$ e il centro di uno dei due dipoli. Posso da qui ricavare la formula proposta dalla traccia? Se sì, come?

Inoltre, se i due dipoli giacessero sullo stesso asse, come si può dimostrare che

$E=(6qd^2)/(4\pi\epsilon_0 z^4)$? $z$=distanza di $P$ dal centro del quadrupolo lungo il suo asse($z$ molto maggiore di $d$), $d$= distanza tra i centri delle cariche del singolo dipolo.

[Sk_Anonymous]

Considerando $+q(a,a)$, $-q(-a,a)$, $+q(-a,-a)$, $-q(a,-a)$ e calcolando il campo sul semiasse positivo delle ascisse, devi sviluppare la seguente espressione quando $[a/x->0]$:

$E_y(x)=1/(4\pi\epsilon_0)(2qa)/[(x+a)^2+a^2]^(3/2)-1/(4\pi\epsilon_0)(2qa)/[(x-a)^2+a^2]^(3/2)=$

$=(qa)/(2\pi\epsilon_0)[1/(x^2+2ax+2a^2)^(3/2)-1/(x^2-2ax+2a^2)^(3/2)]=$

$=(qa)/(2\pi\epsilon_0x^3)[(1+2a/x+2a^2/x^2)^(-3/2)-(1-2a/x+2a^2/x^2)^(-3/2)]=$

$=(qa)/(2\pi\epsilon_0x^3)[1-3a/x-1-3a/x+o(a/x)]=$

$=(-3qa^2)/(\pi\epsilon_0x^4)+o(a^2/x^4)$

Infine, per considerazioni di simmetria, il campo sul semiasse negativo delle ascisse vale:

$E_y(x)=(3qa^2)/(\pi\epsilon_0x^4)+o(a^2/x^4)$

Ti faccio notare che, mentre il primo addendo di quella espressione rappresenta il campo del dipolo situato a sinistra dell'origine, il secondo addendo rappresenta il campo del dipolo uguale e opposto situato alla destra.