[Campo elettrico] Conservatività e integrale di linea
Buongiorno a tutti.
So dal mio libro di teoria che il campo elettrico è un campo di forza conservativo e quindi, per definizione, l'integrale su ogni percorso chiuso deve essere nullo.
Ora, non sono solito fermarmi a ciò che leggo e cerco sempre di "convincermi" in qualche modo della veridicità di ciò che leggo, anche di ciò che può sembrare banale o che viene dato per definizione (come in questo caso).
Lo faccio per "metabolizzare" un argomento, sia perché mi appassionano i fondamenti e mi piace capire a fondo una cosa, sia perché lo ritengo utile a capire meglio e più velocemente tutte le conseguenze che ne derivano.
Non riesco però a metabolizzare questo fatto, ovvero non riesco a "visualizzare" come il seguente integrale possa SEMPRE essere nullo per ogni campo elettrico e linea chiusa:
$ oint_(L) E*ds*cos \theta $
Nella fattispecie, cercando di convincermene con qualche esempio, sono giunta a quella che mi pare essere una contraddizione, ovvero:
Supponiamo che in una regione di spazio vi sia un campo elettrico uniforme di direzione parallela all'asse x e orientato verso destra, di intensità $E$ in un certo spazio compreso tra $y0$ e $y1$, $E_1 = 2*E$ nello spazio che va da $y1$ a $y2$.
Spero che l' "immagine" qui sotto chiarifichi un po' il concetto:
Ora, se noi scegliamo come linea chiusa un quadrato di lato $l <= y2-y0$ tale che $l/2$ coincida con $y1$, abbiamo la seguente situazione:
E, poiché il campo elettrico è conservativo, deve essere nullo l'integrale lungo il perimetro:
$oint_(2p) E*ds*cos \theta$
Quest'integrale si può scomporre come somma su ogni lato del quadrato. Tuttavia notiamo che nei lati AC e BD il coseno è pari a 90° ed annulla gli integrali. Pertanto rimane[1]:
$int_(A)^(B) 2E*ds*cos(0°) + int_(C)^(D) E*ds*cos(180°) = 2E*l -E*l = E*l $
Ora, il campo elettrico è positivo e maggiore di zero, il lato è ovviamente anch'esso positivo e maggiore di zero, pertanto mi chiedo come possa essere il loro prodotto uguale a zero.
E dato che mi fido del fatto che il campo elettrico sia conservativo (
), vi chiedo di illuminarmi sui passaggi che ho sbagliato perché davvero non riesco a capire dove sono gli errori! 
Thanks in advance
[1](EDIT: avevo dimenticato di dire che per la linea chiusa ho fissato il senso orario... ecco perché abbiamo il coseno di $0°$ sopra e di $180°$ sotto)
So dal mio libro di teoria che il campo elettrico è un campo di forza conservativo e quindi, per definizione, l'integrale su ogni percorso chiuso deve essere nullo.
Ora, non sono solito fermarmi a ciò che leggo e cerco sempre di "convincermi" in qualche modo della veridicità di ciò che leggo, anche di ciò che può sembrare banale o che viene dato per definizione (come in questo caso).
Lo faccio per "metabolizzare" un argomento, sia perché mi appassionano i fondamenti e mi piace capire a fondo una cosa, sia perché lo ritengo utile a capire meglio e più velocemente tutte le conseguenze che ne derivano.
Non riesco però a metabolizzare questo fatto, ovvero non riesco a "visualizzare" come il seguente integrale possa SEMPRE essere nullo per ogni campo elettrico e linea chiusa:
$ oint_(L) E*ds*cos \theta $
Nella fattispecie, cercando di convincermene con qualche esempio, sono giunta a quella che mi pare essere una contraddizione, ovvero:
Supponiamo che in una regione di spazio vi sia un campo elettrico uniforme di direzione parallela all'asse x e orientato verso destra, di intensità $E$ in un certo spazio compreso tra $y0$ e $y1$, $E_1 = 2*E$ nello spazio che va da $y1$ a $y2$.
Spero che l' "immagine" qui sotto chiarifichi un po' il concetto:
y ^ | | | y2| 2E 2E 2E | 2E 2E 2E y1|----------------- | E E E E E y0| E E E E E --|------------------> x |
Ora, se noi scegliamo come linea chiusa un quadrato di lato $l <= y2-y0$ tale che $l/2$ coincida con $y1$, abbiamo la seguente situazione:
-------------------> 2E A _____________ B | | --|-------------|--> 2E | | |-------------| l/2 | | --|-------------|--> E |_____________| C D -------------------> E
E, poiché il campo elettrico è conservativo, deve essere nullo l'integrale lungo il perimetro:
$oint_(2p) E*ds*cos \theta$
Quest'integrale si può scomporre come somma su ogni lato del quadrato. Tuttavia notiamo che nei lati AC e BD il coseno è pari a 90° ed annulla gli integrali. Pertanto rimane[1]:
$int_(A)^(B) 2E*ds*cos(0°) + int_(C)^(D) E*ds*cos(180°) = 2E*l -E*l = E*l $
Ora, il campo elettrico è positivo e maggiore di zero, il lato è ovviamente anch'esso positivo e maggiore di zero, pertanto mi chiedo come possa essere il loro prodotto uguale a zero.
E dato che mi fido del fatto che il campo elettrico sia conservativo (
), vi chiedo di illuminarmi sui passaggi che ho sbagliato perché davvero non riesco a capire dove sono gli errori! Thanks in advance
[1](EDIT: avevo dimenticato di dire che per la linea chiusa ho fissato il senso orario... ecco perché abbiamo il coseno di $0°$ sopra e di $180°$ sotto)
Risposte
Il campo elettrico non puoi costruirlo "a caso", altrimenti è ovvio che potrai trovare una linea con circuitazione non nulla; prova a creare un campo elettrico a partire da una certa geometria di cariche, e vedrai che il campo che creano soddisfa alla proprietà di conservatività.
"Maurizio Zani":
Il campo elettrico non puoi costruirlo "a caso", altrimenti è ovvio che potrai trovare una linea con circuitazione non nulla; prova a creare un campo elettrico a partire da una certa geometria di cariche, e vedrai che il campo che creano soddisfa alla proprietà di conservatività.
Quindi quello che ho detto dimostra solo che un simile campo elettrico non possa esistere?
Perché fermo restando che il campo elettrico è conservativo, se non ci sono errori di calcolo può significare solo quello.
Infatti, ero partito con i campi elettrici uniformi e di uguale intensità. Questi ovviamente esistono (nei condensatori per esempio) ed in effetti non fanno giungere a nessuna contraddizione (perché ovviamente si ha infine che $E*l = E*l$
I campi elettrici associati a cariche elettriche, come ti ha ricordato Maurizio, sono conservativi, ma esistono campi elettrici non conservativi, come quelli generati da campi magnetici variabili, descritti dalla legge dell'induzione di Faraday
$oint vec(E)*dvec(s)=-(dPhi_B)/(dt)!=0$ con $Phi_B$ il flusso del campo magnetico
$oint vec(E)*dvec(s)=-(dPhi_B)/(dt)!=0$ con $Phi_B$ il flusso del campo magnetico
Infatti...è importante considerare che la circuitazione del campo ELETTROSTATICO è zero lunga una linea chiusa..
ma anche quando vai a caricare un condensatore per esempio, la circuitazione del campo ELETTRICO, dovuto a interazioni elettriche e chimiche etc..è diversa da zero(e paghi un lavoro per avere questa situazione.
ma anche quando vai a caricare un condensatore per esempio, la circuitazione del campo ELETTRICO, dovuto a interazioni elettriche e chimiche etc..è diversa da zero(e paghi un lavoro per avere questa situazione.
Grazie mille, mi avete aiutato molto.
Ho seguito un corso di Fisica che non approfondiva moltissimo (e meno male, dato che studio Informatica!) questi concetti e perciò avevo qualche dubbio.
Tra l'altro sono anche riuscito a verificare che il potenziale di un punto a distanza $r$ generato da una carica puntiforme positiva è $q/(4pi \epsilon_0 r)$ e che se tra due superfici equipotenziali distanti $r$ il campo elettrico $E$ è uniforme, allora $\Delta V = -Er$, cose che venivano date per vere senza essere dimostrate.
Ok non sarà chissà quale impresa, ma so pur sempre soddisfazioni!
Ho seguito un corso di Fisica che non approfondiva moltissimo (e meno male, dato che studio Informatica!
) questi concetti e perciò avevo qualche dubbio.Tra l'altro sono anche riuscito a verificare che il potenziale di un punto a distanza $r$ generato da una carica puntiforme positiva è $q/(4pi \epsilon_0 r)$ e che se tra due superfici equipotenziali distanti $r$ il campo elettrico $E$ è uniforme, allora $\Delta V = -Er$, cose che venivano date per vere senza essere dimostrate.
Ok non sarà chissà quale impresa, ma so pur sempre soddisfazioni!
Bene, ne son lieto
Poi basta ragionare che in un campo uniforme il potenziale ha lo stesso valore in tutti i punti di un piano ortogonale alla direzione del campo per cui tra questi due punti
e' $\DeltaV=0=int_(A )^(C )\vec -E *\vec dl+ int_(D )^(B )\vec -E *\vec dl $ mentre $ int_( C)^( D)\vec -E*\vec dl=V_D-V_C=-El_(CD)$ e
$ int_( B)^(A )\vec -E*\vec dl=V(A)-V(B)=El_(AB)$ che sommandoli danno 0
e' $\DeltaV=0=int_(A )^(C )\vec -E *\vec dl+ int_(D )^(B )\vec -E *\vec dl $ mentre $ int_( C)^( D)\vec -E*\vec dl=V_D-V_C=-El_(CD)$ e
$ int_( B)^(A )\vec -E*\vec dl=V(A)-V(B)=El_(AB)$ che sommandoli danno 0
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