Campo elettrico cilindro pieno

[Vincent2]

Hey,

mi trovo a risolvere il seguente problema

Dato un cilindro pieno di raggio $R$ infinitamente lungo e densità volumetrica di carica $p = p_0 (3r + 4r)$, determinare il campo elettrico nel caso $r < R$ e $r > R$

Il ragionamento che ho fatto è quello di considerare il cilindro pieno come una successione infinita di cilindri vuoti uno dopo l'altro, con raggio crescente. Per cui calcolato il campo elettrico di uno, potrei integrare da $0$ a $R$, un pò come si fa con il disco carico (successione di anelli).

Per cui, usando il solito teorema di Gauss

$int(E_c*ds) = q/e_0$
$E*2*pirh = q/e_0$
$E_c = q / (2pire_0h)$

A questo punto posso impostare il calcolo dell'integrale.
Nel caso in cui $r < R$

$E = int_0^r((3p_0(r^2+r^3))/(2e_0)) ) = p_0/(2e_0) * (r^3 + r^4)$

Per cui resta chiaro che il campo elettrico cresce all'aumentare del raggio. Risultato coerente con quello che ho studiato fino ad ora.

Nel caso in cui $r > R$ devo ripetere il ragionamento mettendo $R$ nei vari calcoli di aree e cose varie, per cui questa volta

$q = ppiR^2h$, e quindi $E = (p_0(R^3+R^4)*piR^2h)/(2pie_0rh) = p_0R^3(3+4R)/(2e_0r)$

Vi trovate con l'idea esposta qui?
Grazie!

[Vincent2]

Nessuno ha voglia di verificare quanto esposto qui?

[Erasmus_First]

"Vincent":Nessuno ha voglia di verificare quanto esposto qui?

Forse era meglio pensare al campo gravitazionale di un cilindro (di lunghezza infinita) "pieno", specificando come variava la densità (di massa) da punto a punto.
Non si capisce come fa una distribuzione di carica elettrostatica spaziale ad avere una densità (volumetrica) diversa da zero; tantomeno una precisa distribuzione variabile con la distanza dall'asse ma uniforme in ogni strato coassiale di spessore infinitesimo.
Il cilindro deve essere di materiale isolante perfetto, se no a lungo andare la carica se ne va tutta sulla superficie. E qualche padreterno deve averlo creato già con la carica di un segno in eccesso e con quella precisa distribuzione dato che poi internamente di carica non se ne può aggiungere né togliere e nemmeno se ne può spostare.
[Invece è fisicamente possibile costruire un cilindro con densità (di massa)variabile con la distanza dall'asse].
Occhio poi alla permittività del materiale! Ogni dielettrico materiale ha suscettività elettrica positiva e quindi permittività maggiore di quella del vuoto ($ε > ε_0$).

"Vincent":Dato un cilindro pieno di raggio $R$ infinitamente lungo e densità volumetrica di carica $p = p_0 (3r + 4r)$, determinare il campo elettrico nel caso $r < R$ e $r > R$

Non capisco cosa intendi dire con $p = p_0 (3r + 4r)$. Forse volevi scrivere $ρ=k(r^3 + r^4)$

Facciamo il caso più semplice, cioè che la densità di carica sia uniforme all'interno del cilindro

Supposto, dunque, che esista una porzione di spazio cilindrica, di lunghezza infinita e raggio R, omogenea ed isotropa e quindi di permittività scalare $ε$ immersa nel vuoto (di permittività $ε_0$) e che in essa ci sia una densità spaziale di carica elettrica costante nel tempo e dipoendente dalla distanza $r$ dall'asse $a$ del cilindro
(ampère·secondo/metrocubo)], ... e che non ci sia in giro altra carica elettrica oltre a quella del cilindro stesso, basta il teorema di Gauß per trovare il campo elettrico sia dentro al cilindro che fuori di esso.
a) Per motivi di simmetria il vettore campo elettrico ortogonale all'asse $a$ del cilindro e il suo modulo è uniforme su ogni suoerficie cilindrica di asse $a$.
b) Interbnamente, detta $r ≤ R$ la distanza di un punto dall'asse, la carica $∆q$ contenuta in un tronco di cilindro di sezione $πr^2$ e lunghezza $l$ è
$∆q = ρπr^2l$
Detto $E(r)$ il modulo del vettore-campo elettrico E a distanza $r < R$ dall'asse $a$, e detto $D = εE$ il modulo del vettore-campo spostamento (o insduzione elettrostatica) D, il flusso di D uscente dalla superficie (chiusa) del detto tronco di cilindro [essendo nullo quello che esce dalle basi perché D è pewrpendicolare all'asse $a$] vale
$εE(r)·2πrl$
Per il Teorema di Gauß si ha:
$εE(r)·2πrl = ∆q = ρπr^2l$ ⇒ $E(r) = 1/2 ρ/εr$
Il campo elettrico (come è intuitivo) è nullo sull'asse e cresce proporzionalmente alla distanza $r$ dall'asse fino al raggio $R$ (escluso) del cilindro, cioè fino al valore
$E(R) = 1/2 ρ/εR$

Esternamente al cilindro, a partire dai punti a ridosso del cilindro (ossia alla distanza $r ≥ R$) abbiamo (sempre per Teorema di Gauß)
$ε_0E(r)·2πrl = ρπR^2l$ ⇒ $E(r) = 1/2 ρ/εR^2·1/r$
Esternamente al cilindro il campo elettrico cala in proporzione inversa della crescente distanza dall'asse del cilindro.
[NB. In $r = R$ il campo elettrico è continuo ma non derivabile]
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