Campo Elettrico Bipolo

[Flamber]

Ho scritto il potenziale del bipolo composto da due cariche uguali ed opposte, con l'ipotesi che la distanza tra la carica di prova ed il centro del bipolo, sia molto più grande della distanza tra cariche del bipolo. Il centro del bipolo è posto nell'origine.

$V(P)=1/(4\pi\epsilon_0)*(pz)/((x^2+y^z+z^2)^(3/2))$

con $p=q*d$

$d="distanza tra le cariche del bipolo"$

Inoltre vale l'ipotesi che $z=rcos\theta$

con $r(P)=sqrt(x^2+y^2+z^2)$

non ho problemi ad ottenere le espressioni di $E_x$ ed $E_y$, ma ho qualche problema con $E_z$.

Il risultato che dovrei ottenere è il seguente, ma al momento non ci riesco:

$-(\deltaV)/(\deltaz)=p/(4\pi\epsilon_0)*(3cos^2(\theta)-1)/(r^3)$

Derivando rispetto a z, come devo tenere conto di $cos(\theta)$? non è certo una costante, perchè variando z, varia anche l'angolo tra il vettore posizione di P=(x,y,z) e l'asse z.

[Thyeme]

Io trovo molto più semplice tenere il dipolo in forma vettoriale!

Quindi si ha (chiamando $r^2 = (x^2 + y^2 + z^2)$)

$V_z(r)=1/(4piepsilon_0)* (bar{p}*bar{z})/r^3$

$E(z)=-(delvarphi)/(delz)=1/(4piepsilon_0)* (bar{p}/r^3 - (3(bar{p}*bar{z}))/r^5 *bar{z})$